Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Seja α ∈ R e considere o sistema linear

x + a y + z = a x + y + z = 1 x + y + a z = a 2

Nas incógnitas reais x , y   e   z . Temos que esse sistema possuirá uma única solução se, e somente se:

a )   a ≠ 1 ;

b )   a = 1

c )   a ≠ 0

d )   a = 0

e )   0 < a < 1

Passo 1

Falaa, blz??? Bora para essa questãozinha envolvendo sistema e suas soluções. Quando pensamos em soluções para um sistema, podemos pensar em escalonar a matriz relacionada ao sistema e trabalhar em cima disso, bora lá?

1 a 1 a 1 1 1 1 1 1 a a 2   L 3 = L 3 - L 1 L 2 = L 2 - L 1 →   1 a 1 a 0 1 - a 0 1 - a 0 1 - a a - 1 a 2 - a =

= 1 a 1 a 0 1 - a 0 1 - a 0 1 - a a - 1 a ( a - 1 )

Veja que se a ≠ 1 , podemos dividir a segunda e última linha por ( 1 - a ) , ficando:

1 a 1 a 0 1 0 1 0 1 - 1 - a     L 3 = L 3 - L 2 →   1 a 1 a 0 1 0 1 0 0 - 1 - a - 1

Passo 2

Nesse momento a gente abre um sorriso, pois nesse caso temos uma solução, mas vale lembrar que para chegarmos nisso precisamos dividir as linhas por 1 - a e quando fazemos isso estamos supondo a ≠ 1

Passo 3

Ou seja, sabemos que quando a ≠ 1 conseguimos achar uma solução.

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

Se duas regiões poliedrais convexas são definidas por dois conjuntos de desigualdades lineares, a interseção destas regiões é definida por qual conjunto de desigualdades?
Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida por x ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 2 3 x + 2 y ≤ 2 x + y ≤ 1 Desenha esta região.
Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 3 y + 6 ≥ 0 x + 2 y - 3 ≤ 0
Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 x - y + 3 z = 11 4 x - 3 y + 2 z = 0 x + y + z = 6 3 x + y + z = 4