Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Considere a matriz   1 2 0 1       2 3 3 2       0 - 1 2 1       1 1 - 1 k .

Em b) e c) considere que esta é a matriz ampliada de um sistema de equações lineares.

b) Determine para que valores de k este sistema não teria solução.

c) Para o(s) caso(s) em que o sistema é possível, determine o conjunto solução.

Passo 1

Letra b)

A matriz aumentada como conhecemos será:

1 2 0 1       2 3 3 2       0 - 1 2 1 1 1 - 1 k

Agora vamos escalonar pra conseguirmos ver melhor alguma relação que nos ajude

1 2 0 1       2 3 3 2       0 - 1 2 1 1 1 - 1 k   L 2 → L 2 - 2 L 1 L 4 → L 4 - L 1

1 0 0 0       2 - 1 3 0       0 - 1 2 1 1 - 1 - 1 k - 1     L 3 → L 3 + 3 L 2

1 0 0 0       2 - 1 0 0       0 - 1 - 1 1 1 - 1 - 4 k - 1     L 4 → L 4 + L 3

1 0 0 0       2 - 1 0 0       0 - 1 - 1 0 1 - 1 - 4 k - 5    

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pronto, está na forma escalonada, agora temos que lembrar o que significa essa matriz aumentada, ela representa um sistema linear certo? É a mesma coisa que isso:

1 0 0 0       2 - 1 0 0       0 - 1 - 1 0       ∙ x y z = 1 - 1 - 4 k - 5

Sendo x y z   um vetor qualquer do R 3 .

Olhando para a equação que envolve o k:

0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 ∙ z = k - 5 ⟹ 0 = k - 5

O sistema não terá solução de k - 5 for diferente de 0, ou seja, se k   for diferente de 5!

Passo 3

Letra c)

Vimos que para k ≠ 5 o sistema não tem solução, assim nos casos de existir solução k deve ser 5! Então vamos substituir o k :

1 0 0 0       2 - 1 0 0       0 - 1 - 1 0       ∙ x y z = 1 - 1 - 4 0

Vamos representar como um sistema de equações:

x + 2 y = 1 - y - z = - 1 - z = - 4 ⟹ z = 4

Substituindo o valor que encontramos para z na segunda equação temos:

- y - 4 = - 1 ⟹ y = - 3

Substituindo o y agora na primeira equação:

x + 2 - 3 = 1 ⟹ x = 7

A solução será então x , y , z = ( 7 , - 3 ,   4 )

Resposta

b)   k ≠ 5

c)   ( 7 , - 3 ,   4 )

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