Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Para quais valores da constante k o sistema:

x - y = 3

2 x - 2 y = k

Não tem solução? Exatamente uma solução? Infinitas soluções? Explique o seu raciocínio.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado quer saber se o sistema tem solução, se não tem, se a solução é única ou se tem infinitas soluções. Para descobrir isso, vamos tentar resolver o sistema:

x - y = 3

2 x - 2 y = k

Passo 2

Podemos eliminar x da segunda equação, somando - 2 vezes a primeira a equação à segunda. Isso fornece o sistema simplificado:

x - y = 3

0 = - 2 3 + k

x - y = 3

0 = - 6 + k

Logo, temos

k = 6

Para k = 6 , temos infinitas soluções, porque a segunda equação não impõe quaisquer restrições a x e y e pode, portanto, ser omitida. Assim, as soluções do sistema são os valores de x e y que satisfazem a única equação:

x - y = 3

Geometricamente, isso significa que as retas correspondentes às duas equações do sistema original são coincidentes e nós podemos perceber isso apenas notando que a segunda equação é um múltiplo da primeira.

Se k ≠ 6 , teríamos um resultado contraditório e o sistema não teria nenhuma solução. Então, independentemente do valor de k , não podemos ter uma única solução. Ou seja, o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

N e n h u m   v a l o r   d e   k   f o r n e c e   s o l u ç ã o   ú n i c a

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