Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Considere os seguintes sistemas lineares:

(I) Existem valores de a, b e c tais que o sistema S 1   não tem solução.

(II) Existem valores de a, b e c tais que o sistema S 2   não tem solução.

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) Ambas são verdadeiras

(d) Ambas são falsas

Passo 1

Os dois sistemas S 1 e S 2 têm três equações e três incógnitas (que são os valores de x, y e z que satisfazem as três equações simultaneamente).

Precisamos ver se existem valores de a, b e c que façam com que esses sistemas tenham solução (ou seja, as três equações de cada um deles não podem ser incompatíveis).

Para isso temos que escalonar as matrizes aumentadas e analisar a existência de solução a partir daí.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com o sistema S 1 .

Escalonando a matriz aumentada:

1 4 7 2 5 8 3 6 9 a b c

(i) L 2 ← L 2 + ( - 2 ) L 1   e L 3 ← L 3 + ( - 3 ) L 1

1 4 7 0 - 3 - 6 0 - 6 - 12 a b - 2 a c - 3 a

(ii)   L 3 ← L 3 + - 2 L 2

1 4 7 0 - 3 - 6 0 0 0 a b - 2 a c - 3 a - 2 b + 4 a

Para que o sistema tenha solução, o termo que restou do lado direito da última tem que ser 0.

Caso contrário teríamos 0 diferente de 0 na última linha.

Então:

c - 3 a - 2 b + 4 a = 0   ⇒ c + a - 2 b = 0 �� 2 b = c + a

Para valores de a, b e c que não satisfazem essa relação, o sistema não tem solução.

Portanto, (I) é verdadeira: existem valores de a, b e c tais que o sistema S 1 não tem solução.

Passo 3

Agora vamos ver o sistema S 2 .

Escalonando a matriz aumentada:

(i) L 2 ← L 2 + ( - 2 ) L 1 e L 3 ← L 3 + ( - 3 ) L 1

(ii) L 3 ← L 3 + - 2 L 2

Notem agora que, para qualquer valor da variável y que multiplica o termo do meio, a equação será satisfeita, bastando que essa variável seja igual a 0.

Portanto, o sistema sempre tem solução, não existindo valores de a, b e c que façam com que ele seja impossível.

A afirmação (II) é falsa.

Resposta

(a) I é verdadeira e II é falsa

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