Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2017.2, Questão 05

Qual destas equações, se acrescentada ao sistema linear abaixo como uma terceira equação, resultará em um sistema de solução única?

x + 2 y + 3 z   = 1 x + 3 y + 2 z = 1

(a) x - 3 y + 8 z = 1

(b)   x - 2 y + 7 z = 1

(c) x - 2 y + 9 z = 1

(d)   x - y   + 6 z   = 1

Passo 1

Para que o sistema tenha solução única, preciso de 3 equações L I ! Já tenho duas do enunciado, então tenho que achar, entre as opções, aquela que não é C L dessas duas.

(a) x - 3 y + 8 z = 1

x + 2 y + 3 z   = 1 x + 3 y + 2 z = 1 x - 3 y + 8 z = 1

Passando pra matriz aumentada:

1 1 1 2 3 - 3 3 2 8 1 1 1 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 0 0 2 1 - 5 3 - 1 5 1 0 0 → L 3 → L 3 + 5 L 2 1 0 0 2 1 0 3 - 1 0 1 0 0

Uma linha zerou, ou seja, essa última equação era C L   das outras! Vamos para a próxima letra:

(b)   x - 2 y + 7 z = 1

x + 2 y + 3 z   = 1 x + 3 y + 2 z = 1 x - 2 y + 7 z = 1

1 1 1 2 3 - 2 3 2 7 1 1 1 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 0 0 2 1 - 4 3 - 1 4 1 0 0 → L 3 → L 3 + 4 L 2 1 0 0 2 1 0 3 - 1 0 1 0 0

Zerou também! Próxima:

(c) x - 2 y + 9 z = 1

x + 2 y + 3 z   = 1 x + 3 y + 2 z = 1 x - 2 y + 9 z = 1

1 1 1 2 3 - 2 3 2 9 1 1 1 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 0 0 2 1 - 4 3 - 1 6 1 0 0 → L 3 → L 3 + 4 L 2 1 0 0 2 1 0 3 - 1 2 1 0 0

Obaa, não zerou, então essa é nossa resposta!

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Resposta

c

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