Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Sistemas Lineares

Considere o sistema A x → = b → de m equações e n incógnitas.

Qual das seguintes situações não pode acontecer?

a   m = n , nenhuma solução

b   m = n , mais de uma solução

c   m < n , nenhuma solução

d   m < n , solução única

Passo 1

Avaliar as letras ( a ) e ( b ) é simples, é só lembrar de um exemplo!

Olha só esse sistema 2 × 2 :

x + y = 2 2 x + 2 y = 4

E tem infinitas soluções!

Se você for olhar, tanto ( 1 ,   1 ) como ( 2 ,   0 ) como ( 0 ,   2 ) são soluções do sistema.

Isso acontece porque a segunda equação é o dobro da primeira.

Agora veja esse:

x + y = 2 2 x + 2 y = 3

Ele não tem solução, porque se x + y = 2 , então para quaisquer x e y que eu escolher 2 x + 2 y vai ser 4 ! Nunca vai ser 3 !

Então é evidente que se m = n o sistema pode ter mais de uma solução, assim como também pode não ter nenhuma.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora ver o caso em que m < n , quando temos mais incógnitas que equações.

Eu posso fazer algo parecido com o passo 1 para ver que nesse caso o sistema pode não ter solução.

Por exemplo:

x + y + z = 2 2 x + 2 y + 2 z = 3

Ora, esse sistema não pode ter solução, porque se x + y + z = 2 , então 2 x + 2 y + 2 x = 4 !

Não é? Nunca vai poder ser igual a 3 .

Se eu colocar um 4 ali no lugar do 3 , ele vai ter infinitas soluções, o que também é possível quando temos mais incógnitas do que equações. Então a letra ( c ) é possível.

Mas será que existe um caso em que m < n e o sistema tem solução única?

Passo 3

Usando nosso macetinho de equações e variáveis temos que a dimensão do conjunto solução é dada pelo número de variáveis menos o número de equações L I ! Então, se m é o número de equações (linhas) e n é o número de variáveis (colunas), e m < n , temos:

n - m ≥ 1

Chegamos à conclusão que a dimensão do conjunto solução desse sistema sempre será maior ou igual a 1! Logo, a solução nunca vai ser única 😉. Ela será uma reta, um plano, ou qualquer outro espaço de dimensão maior que 1 .

Resposta

Letra ( d ) .

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