Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P1 - 2018.1, Questão 17

Cada representa um número diferente de 0. (Diferentes ’s podem assumir valores distintos!). O sistema que pode não ter solução é:

Passo 1

Todas as alternativas mostram sistemas com 4 equações e 4 incógnitas. Vamos chama-las de x 1 , x 2 , x 3 e x 4 , de forma que um vetor solução seria da forma:

x = x 1 x 2 x 3 x 4

Para que um sistema com 4 equações e 4 incógnitas não tenha solução, o que deve acontecer é haver duas ou mais linhas que são incompatíveis.

Olha esse exemplo:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 2 x 1 + x 2 + 3 x 3 + x 4 = 7 x 1 = 1 x 1 = 4

O sistema é impossível, porque x 1 não pode ser 1 e 4 ao mesmo tempo.

Agora vamos ver caso a caso e analisar em qual deles a solução pode não existir.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Repare que a terceira e a quarta linha têm os quadradinhos e zeros nas mesmas posições.

Nessas linhas, podemos ter uma relação que mostra inconsistência entre as equações e a solução pode não existir.

Podemos ter, nessas duas linhas, por exemplo:

x 1 + x 3 + x 4 = 1 2 x 1 + 2 x 3 + 2 x 4 = 3

Ou seja, multiplicamos o lado esquerdo da primeira linha por 2, mas fizemos algo diferente com o lado esquerdo (multiplicamos por 3), e não existem números que satisfaçam essas duas condições simultaneamente.

Como uma situação desse tipo pode acontecer na matriz dada nessa alternativa, ela é a nossa resposta.

Mas vamos continuar vendo as outras alternativas e ver por que a solução pode existir em cada uma delas.

Passo 3

Note que nesse caso, conseguimos tirar da segunda equação o valor de x 2 .

Substituindo na quarta equação, temos o valor de x 3 .

Substituindo os dois na primeira, obtemos x 1 e, por fim, tiramos x 4 da última equação.

Então, esse sistema tem solução.

Passo 4

Seguindo a mesma ideia de antes, conseguimos achar x 1 na segunda equação.

Colocando na terceira, achamos x 2 .

Se substituirmos x 2   na quarta equação, achamos x 4 .

Por último, conseguimos encontrar x 1   a partir da primeira equação.

Então, o sistema tem solução.

Passo 5

Agora, obtemos x 1 na primeira equação.

Substituindo esse valor na última, obtemos x 3 .

Substituindo o valor de x 3 na terceira, obtemos x 2 .

A partir dos valores de x 1 e x 2 , usamos a segunda equação para encontrar x 4 .

Logo, o sistema tem solução.

O único caso em que a solução não necessariamente existe é no sistema da letra (a).

Resposta

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