Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFPE, Álgebra Linear, 1º EE - 2017.2, Questão 1

Considere o seguinte sistema de equações lineares:

Equation

a)Determine os valores de Equation para os quais o sistema tem infinitas soluções, e determine o conjunto solução.

b)Para que valores de Equation o sistema não tem solução?

c)O sistema acima com Equation tem matriz ampliada linha-equivalente à matriz ampliada do seguinte sistema?

Equation

Passo 1

a)

Para começar vamos passar esse sisteminha para a forma de matriz aumentada:

Equation

Para termos infinitas soluções uma das linhas tem que zerar, no caso vai ser a última, então:

Equation e Equation

Equation e Equation

Assim, Equation tem que ser igual a 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora o conjunto solução, qual vai ser?

É só resolvermos o sistema zerando a ultima linha:

Equation

Substituindo esse valor de Equation na primeira equação:

Equation

Equation

Assim a solução vai ser:

Equation

Passo 3

b)

Estamos falando de valores de Equation de novo, então vamos voltar para a matriz aumentada que achamos ali em cima:

Equation

Para o conjunto não ter solução essa última equação deve ser impossível. Isso acontece se Equation for igual a zero e Equation não.

Vimos quando resolvemos Equation que isso assume duas possíveis respostas: 2 e -2, mas, quando Equation vai ser zero também, o que não queremos!

Assim, chegamos a conclusão que Equation

Passo 4

c)

Bom, se Equation sabemos que o nosso sistema vai ter infinitas soluções.

Além disso, para serem sistemas equivalentes, preciso que a solução dos dois seja a mesma! Podemos então, ver qual é a solução desse novo sistema apresentado pra gente.

Equation

Tenho de cara que Equation , substituindo na segunda equação:

Equation

Substituindo esses valores agora na primeira:

Equation

Então minha solução é o vetor Equation

Não preciso nem voltar lá na letra a) pra lembrar qual era o outro conjunto solução. Só de ver que esse tem solução única e o outro infinitas soluções, minha hipótese já foi quebrada!

Os sistemas não são equivalentes.

Passo 5

Resposta

a) Equation , Equation

b) Equation

c) Não

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