Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P1 - 2013.2, Questão 12

Considere o sistema Equation de Equation equações e Equation incógnitas.

Qual das seguintes situações não pode acontecer?

Equation , nenhuma solução

Equation , mais de uma solução

Equation , nenhuma solução

Equation , solução única

Passo 1

Avaliar as letras Equation e Equation é simples, é só lembrar de um exemplo!

Olha só esse sistema Equation :

Equation

E tem infinitas soluções!

Se você for olhar, tanto Equation como Equation como Equation são soluções do sistema.

Isso acontece porque a segunda equação é o dobro da primeira.

Agora veja esse:

Equation

Ele não tem solução, porque se Equation , então para quaisquer Equation e Equation que eu escolher Equation vai ser Equation ! Nunca vai ser Equation !

Então é evidente que se Equation o sistema pode ter mais de uma solução, assim como também pode não ter nenhuma.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora ver o caso em que Equation , quando temos mais incógnitas que equações.

Eu posso fazer algo parecido com o passo Equation para ver que nesse caso o sistema pode não ter solução.

Por exemplo:

Equation

Ora, esse sistema não pode ter solução, porque se Equation , então Equation !

Não é? Nunca vai poder ser igual a Equation .

Se eu colocar um Equation ali no lugar do Equation , ele vai ter infinitas soluções, o que também é possível quando temos mais incógnitas do que equações. Então a letra Equation é possível.

Mas será que existe um caso em que Equation e o sistema tem solução única?

Passo 3

Usando nosso macetinho de equações e variáveis temos que a dimensão do conjunto solução é dada pelo número de variáveis menos o número de equações Equation ! Então, se Equation é o número de equações (linhas) e Equation é o número de variáveis (colunas), e Equation , temos:

Equation

Chegamos à conclusão que a dimensão do conjunto solução desse sistema sempre será maior ou igual a 1! Logo, a solução nunca vai ser única 😉. Ela será uma reta, um plano, ou qualquer outro espaço de dimensão maior que Equation .

Resposta

Letra Equation .

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