Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFPE, Álgebra Linear, 1º EE - 2018.2, Questão 2

Considere o sistema:

Equation

Faça o que se pede abaixo:

i. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha uma única solução e calcule sua solução.

ii. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha infinitas soluções e calcule suas soluções.

iii. Determine os valores de a e b para que o sistema não tenha soluções.

Passo 1

Precisamos analisar a existência de solução desse sisteminha.

Então vamos começar montando a matriz aumentada dele:

Só pra ficar mais fácil pra gente, vamos trocar a primeira linha com a segunda:

E agora vamos escalonar isso aí:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

i. Para que o sistema tenha solução, todas as equações devem fazer sentido, né?

E mais do que isso, pra solução ser única, os valores das incógnitas devem ser bem definidos.

Então na última linha dessa matriz, teremos que ter:

Equation

Pois assim ficaremos com um número diferente de 0 igual a um outro número qualquer.

Aí as demais incógnitas vão ficar bem definidas também.

Pra ver isso é só continuar escalonando:

Equation

Equation

Equation

Então a solução única vai ser:

Equation

Equation

Equation

Passo 3

ii. Pra que o sistema tenha infinitas soluções, a última linha da matriz aumentada escalonada deve ser da forma:

Equation

Então:

Equation

Nesse caso a matriz vai ficar:

Pela primeira linha:

Equation

Pela segunda linha:

Equation

E as soluções vão ser do tipo:

Equation

Passo 4

iii. Pra não ter solução, as equações devem ser incoerentes.

Então na última linha da matriz aumentada escalonada, devemos ter:

Equation um número diferente de 0

Pra isso ocorrer:

Equation

Equation

Resposta

i. Equation

a qualquer

Solução: Equation Equation

Equation

Equation

ii. Equation

Infinitas soluções da forma: Equation

iii. Equation

Equation

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