Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2018.1, Questão 16

Considere um sistema linear com m equações em n incógnitas. Pode-se afirmar que:

(a) Se Equation , a solução, se existir, será única.

(b) Se Equation , a solução, se existir, não será única.

(c) Se Equation , a solução, se existir, será única.

(d) Se Equation , a solução, se existir, não será única.

Passo 1

Vamos supor então que temos um sistema linear com m equações e n incógnitas.

Vamos analisar dois casos:

I – Equation

II – Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se m > n, temos mais equações que incógnitas. O que pode acontecer é:

(i) Não há solução: nesse caso, uma das equações é inconsistente com as demais. Vamos ver um exemplo no Equation pra ficar claro:

Equation

Considerando apenas o sistema formado pelas duas primeiras equações, encontramos que Equation e Equation , mas a terceira equação nos dá Equation , logo o sistema é impossível.

(ii) Existem infinitas soluções: Vamos olhar o seguinte sistema também no Equation

Equation

Com essas equações, achamos Equation , mas não fixamos qualquer valor para y! Então qualquer valor de y satisfaz o sistema, e ele possui infinitas soluções.

(iii) A solução é única: Nesse caso, não há qualquer inconsistência entre as equações, e uma delas é apenas combinação das outras. Vamos ver o exemplo:

Equation

A terceira equação é obtida somando as duas primeiras, e a solução é aquela que já vimos antes: Equation e Equation

Então, quando temos mais equações que incógnitas, a solução, se existir, pode ou não ser única. Com isso já vemos que as letras (a) e (b) estão erradas.

Passo 3

Vamos considerar agora n > m, ou seja, temos mais incógnitas que equações. O que pode acontecer agora??

(i) Existem infinitas soluções: Vamos olhar o seguinte sistema no Equation :

Equation

Temos 3 incógnitas a determinar, que são x, y e z.

Com essas equações, achamos Equation e Equation , mas não fixamos qualquer valor para z! Então qualquer valor de z satisfaz o sistema, e ele possui infinitas soluções.

(ii) Não existe solução: nesse caso, vai haver uma inconsistência entre as equações que temos. Por exemplo, olha esse sistema no Equation :

Equation

De novo vamos precisar determinar x,y e z. Pelas equações dadas, a solução é impossível, pois x assume valores distintos ao mesmo tempo.

Quando o número de incógnitas é maior que o número de equações, não conseguimos ter solução única.

Só há dois casos possíveis: a solução não existe ou a solução existe e não é única.

Por isso, a resposta correta é a letra (d).

Resposta

(d) Se Equation , a solução, se existir, não será única.

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