Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P1 - 2018.2, Questão 14

Considere o sistema S representado pela matriz aumentada

onde Equation é um conjunto linearmente independente. Assinale a matriz aumentada que representa um sistema equivalente a S.

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1

Quando temos um sistema linear da forma:

onde Equation , Equation e Equation são vetores das colunas, as nossas soluções são os vetores Equation do Equation tais que:

Equation

Sabendo disso, no caso do sistema dado no enunciado:

Nosso vetor solução vai ser:

Equation

E a questão pede um sistema equivalente, então vamos ter que olhar alternativa por alternativa e ver qual dos sistemas vai ter esse mesmo vetor solução.

Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a)

Como temos um sistema homogêneo, qualquer vetor Equation é solução dele, incluindo os vetores Equation e Equation .

Mas nesse caso temos infinitas soluções, né?

E no sistema dado no enunciado só tínhamos uma!

Então esse sistema não é equivalente ao outro.

Passo 3

(b)

Vamos ver se o vetor Equation é solução desse sistema:

Equation

Como o resultado deu exatamente o que está no lado direito, o vetor Equation é solução!

E só vai existir essa combinação dos vetores Equation e Equation que resulta no vetor do lado direito.

Então o sistema da letra (b) é equivalente ao sistema dado (mesmo conjunto solução).

Vamos fazer a mesma coisa pros sistemas dos itens (c) e (d) e ver que não vamos obter os caras que estão no lado direito deles.

Passo 4

(c)

Vamos ver se o vetor Equation é solução desse sistema:

Equation

Que é diferente do que está do lado direito da matriz.

Logo, Equation não é solução.

Passo 5

(d)

Vamos ver se o vetor Equation é solução desse sistema:

Equation

Que é diferente do que está do lado direito da matriz.

Logo, Equation não é solução.

Resposta

(b)

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