Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P1 - 2017.1, Questão 9

Considere os sistemas S : A x = b e H :   A x = 0 . Verifique as afirmações abaixo:

I - Se o sistema H   tem solução, então o sistema   S tem solução

II - Se o sistema   S tem solução única, então o sistema H tem solução única

(a) Ambas são falsas

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) I é verdadeira e II é falsa

(d) Ambas são verdadeiras

Passo 1

Afirmativa ( I ) : Se o sistema H   tem solução, então o sistema   S tem solução

Sendo que S : A x = b e H :   A x = 0 .

Primeiramente, o sistema homogêneo   ( H ) sempre tem solução, pois a solução trivial sempre é solução.

O sistema passa a ter a possibilidade de não ter solução quando um vetor b é colocado no lugar do vetor nulo. Isso acontece quando esse vetor não for combinação linear das colunas da matriz, ou seja, quando ele não pertencer a imagem.

Como a questão não deu mais nenhuma restrição para a gente, é possível sim que o sistema não tenha solução, assim, a afirmativa é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmativa I I : Se o sistema   S tem solução única, então o sistema H tem solução única

Essa afirmativa é verdadeira! Isso porque a solução de H   está contida na solução de S   então, se S   só tem uma solução H também vai ter que ter.

Resposta

b

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