Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2018.1, Questão 12

Seja Equation uma matriz quadrada e Equation o sistema Equation .

(I) Se existe um vetor Equation tal que Equation não tem solução, então Equation nunca tem solução única.

(II) Se existe um vetor Equation tal que Equation possui solução única, então Equation possui solução para todo vetor Equation .

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

Um dado importante desse enunciado é que a matriz Equation é quadrada, ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas.

Isso significa que o sistema Equation dado tem o mesmo número de equações e incógnitas.

Com base nisso, vamos ver as afirmações.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(I) Se existe um vetor Equation tal que Equation não tem solução, então Equation nunca tem solução única.

Pra ficar mais fácil de visualizar, vamos supor que a matriz Equation é uma matriz com duas linhas e duas colunas da forma:

Equation

Vamos supor também que o vetor Equation é:

Equation

Desse jeito o sistema Equation fica:

Equation

Equation

Se Equation não tem solução para Equation – isto é, se o sistema acima não tem solução para os valores de e e f – isso significa que podemos ter, por exemplo:

Equation

Porém:

Equation

Mas isso significa então que Equation nunca vai ter solução???

Não!

Se tivermos um vetor Equation tal que:

Equation

A segunda linha do sistema vai ser igual ao dobro da primeira. Numa situação dessas, o sistema vai apresentar infinitas soluções.

Então a afirmação I é verdadeira: se existe um vetor Equation tal que Equation não tem solução, então Equation nunca tem solução única (já que pode ter várias soluções).

Passo 3

(II) Se existe um vetor Equation tal que Equation possui solução única, então Equation possui solução para todo vetor Equation .

Vamos continuar com a mesma matriz Equation de antes pra ficar fácil de visualizar!

Vimos que para um vetor Equation , o sistema Equation vai ficar:

Equation

Dessa vez, Equation possui solução única para esse vetor.

Isso significa que não existe uma relação de inconsistência entre as equações (caso em que não haveria solução) ou mesmo redundância (caso em que haveria infinitas soluções).

Então, para qualquer vetor Equation , o sistema terá solução, já que não estamos tratando de nenhum caso particular de valores de e e f.

A afirmação (II) também é verdadeira.

Resposta

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

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