Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Lista 1 de exercícios da p1, 2015.2, exercício 2 matrizes e sistemas lineares, PUC-rio.

Seja Equation . Mostre que se Equation (representados como vetores coluna) são soluções do sistema linear homogêneo Equation , então Equation tambem é solução do sistema linear homogêneo Equation .

Passo 1

Um problema de “se, então”: vamos equacionar a tese. Se algo é solução do sistema linear homogêneo, podemos escrever da forma:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a distributiva e tomando cuidado já que estamos multiplicando matrizes:

Equation

Passo 3

Não podemos comutar matrizes, mas podemos comutar números reais:

Equation

Passo 4

Agora vamos aplicar nossas hipóteses para provar que o lado esquerdo dessa equação será igual a 0, que é o lado direito.

Se Equation são soluções do sistema linear homogêneo então, Equation e Equation .

Equation

Podemos ver que esta equação independe dos números reais Equation , pois estes multiplicam o zero. Assim, conclui-se que

Equation

e a demonstração está concluída.

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