Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Lista 1 de exercícios da p1, 2015.2, exercício 2 matrizes e sistemas lineares, PUC-rio.

Seja A m × n . Mostre que se X 1 ,   X 2 R n (representados como vetores coluna) são soluções do sistema linear homogêneo A X = 0 , então α X 1 + β X 2 tambem é solução do sistema linear homogêneo A X = 0 .

Passo 1

Um problema de “se, então”: vamos equacionar a tese. Se algo é solução do sistema linear homogêneo, podemos escrever da forma:

A α X 1 + β X 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a distributiva e tomando cuidado já que estamos multiplicando matrizes:

A α X 1 + A β X 2 = 0

Passo 3

Não podemos comutar matrizes, mas podemos comutar números reais:

α A X 1 + β A X 2 = 0

Passo 4

Agora vamos aplicar nossas hipóteses para provar que o lado esquerdo dessa equação será igual a 0, que é o lado direito.

Se X 1 ,   X 2 são soluções do sistema linear homogêneo então, A X 1 = 0 e A X 2 = 0 .

α 0 A X 1 + β 0 A X 2 = 0

Podemos ver que esta equação independe dos números reais α , β , pois estes multiplicam o zero. Assim, conclui-se que

0 = 0

e a demonstração está concluída.

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