Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2013.2, Questão 11

Seja o sistema linear

Equation

com Equation . É falso afirmar que:

Equation Se Equation e Equation , o sistema não admite soluções.

Equation Se Equation e Equation , o sistema admite infinitas soluções.

Equation Se Equation , o sistema admite solução única.

Equation Se Equation e Equation , o sistema não admite soluções.

Passo 1

Vamos dar uma escalonada nesse sistema pra dar pra ver melhor o que está acontecendo:

Equation

Tá, agora ta bom. Vamos ver o que as opções nos dizem:

Equation Se Equation e Equation , o sistema não admite soluções.

Bom, se Equation e Equation , temos o seguinte:

Equation

Bom a última linha nos diz que Equation , onde Equation é diferente de zero. Isso claramente é impossível! Então o sistema não admite soluções! Verdadeiro.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Se Equation e Equation , o sistema admite infinitas soluções.

Substituindo:

Equation

Temos Equation variáveis e Equation equações! Logo, temos uma variáveis livres e infinitas soluções. Verdadeiro.

Passo 3

Equation Se Equation , o sistema admite solução única.

Temos que:

Equation

Sendo assim temos uma matriz com Equation linhas Equation . Como a matriz é quadrada temos ainda que ela é sobrejetiva e injetiva. Ou seja, o sistema sempre terá solução única. Logo, essa é verdadeira.

Passo 4

Equation Se Equation e Equation , o sistema não admite soluções.

Já sabemos que essa é a falsa, mas vamos ver porque! Substituindo, temos que:

Equation

Isso de forma alguma nos diz que o sistema não terá solução! Só nos diz que a terceira coordenada do vetor solução tem que ser zero! Então essa é falsa.

Resposta

Letra Equation

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