Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2013.2, Questão 11

Seja o sistema linear

x     + z = a   - y + z = 1 x     + b z = 2

com a , b R . É falso afirmar que:

( a ) Se b = 1 e a 2 , o sistema não admite soluções.

( b ) Se b = 1 e a = 2 , o sistema admite infinitas soluções.

( c ) Se b 1 , o sistema admite solução única.

( d ) Se b 1 e a = 2 , o sistema não admite soluções.

Passo 1

Vamos dar uma escalonada nesse sistema pra dar pra ver melhor o que está acontecendo:

1 0 1 0 - 1 1 1 0 b a 1 2 L 3 L 3 - L 1 1 0 1 0 - 1 1 0 0 b - 1 a 1 2 - a

Tá, agora ta bom. Vamos ver o que as opções nos dizem:

( a ) Se b = 1 e a 2 , o sistema não admite soluções.

Bom, se b = 1 e a 2 , temos o seguinte:

1 0 1 0 - 1 1 0 0 0 a 1 2 - a , 2 - a 0

Bom a última linha nos diz que 0 = 2 - a , onde 2 - a é diferente de zero. Isso claramente é impossível! Então o sistema não admite soluções! Verdadeiro.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Se b = 1 e a = 2 , o sistema admite infinitas soluções.

Substituindo:

1 0 1 0 - 1 1 0 0 0 2 1 0

Temos 3 variáveis e 2 equações! Logo, temos uma variáveis livres e infinitas soluções. Verdadeiro.

Passo 3

( c ) Se b 1 , o sistema admite solução única.

Temos que:

1 0 1 0 - 1 1 0 0 b - 1 a 1 2 - a , b - 1 0

Sendo assim temos uma matriz com 3 linhas L I . Como a matriz é quadrada temos ainda que ela é sobrejetiva e injetiva. Ou seja, o sistema sempre terá solução única. Logo, essa é verdadeira.

Passo 4

( d ) Se b 1 e a = 2 , o sistema não admite soluções.

Já sabemos que essa é a falsa, mas vamos ver porque! Substituindo, temos que:

1 0 1 0 - 1 1 0 0 b - 1 a 1 0 , b - 1 0

Isso de forma alguma nos diz que o sistema não terá solução! Só nos diz que a terceira coordenada do vetor solução tem que ser zero! Então essa é falsa.

Resposta

Letra ( d )

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