Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Seja o sistema linear

x     + z = a   - y + z = 1 x     + b z = 2

com a , b ∈ R . É falso afirmar que:

( a ) Se b = 1 e a ≠ 2 , o sistema não admite soluções.

( b ) Se b = 1 e a = 2 , o sistema admite infinitas soluções.

( c ) Se b ≠ 1 , o sistema admite solução única.

( d ) Se b ≠ 1 e a = 2 , o sistema não admite soluções.

Passo 1

Vamos dar uma escalonada nesse sistema pra dar pra ver melhor o que está acontecendo:

1 0 1 0 - 1 1 1 0 b a 1 2 → L 3 ← L 3 - L 1 1 0 1 0 - 1 1 0 0 b - 1 a 1 2 - a

Tá, agora ta bom. Vamos ver o que as opções nos dizem:

( a ) Se b = 1 e a ≠ 2 , o sistema não admite soluções.

Bom, se b = 1 e a ≠ 2 , temos o seguinte:

1 0 1 0 - 1 1 0 0 0 a 1 2 - a , 2 - a ≠ 0

Bom a última linha nos diz que 0 = 2 - a , onde 2 - a é diferente de zero. Isso claramente é impossível! Então o sistema não admite soluções! Verdadeiro.

Passo 2

( b ) Se b = 1 e a = 2 , o sistema admite infinitas soluções.

Substituindo:

1 0 1 0 - 1 1 0 0 0 2 1 0

Temos 3 variáveis e 2 equações! Logo, temos uma variáveis livres e infinitas soluções. Verdadeiro.

Passo 3

( c ) Se b ≠ 1 , o sistema admite solução única.

Temos que:

1 0 1 0 - 1 1 0 0 b - 1 a 1 2 - a , b - 1 ≠ 0

Sendo assim temos uma matriz com 3 linhas L I . Como a matriz é quadrada temos ainda que ela é sobrejetiva e injetiva. Ou seja, o sistema sempre terá solução única. Logo, essa é verdadeira.

Passo 4

( d ) Se b ≠ 1 e a = 2 , o sistema não admite soluções.

Já sabemos que essa é a falsa, mas vamos ver porque! Substituindo, temos que:

1 0 1 0 - 1 1 0 0 b - 1 a 1 0 , b - 1 ≠ 0

Isso de forma alguma nos diz que o sistema não terá solução! Só nos diz que a terceira coordenada do vetor solução tem que ser zero! Então essa é falsa.

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

Se duas regiões poliedrais convexas são definidas por dois conjuntos de desigualdades lineares, a interseção destas regiões é definida por qual conjunto de desigualdades?
Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida por x ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 2 3 x + 2 y ≤ 2 x + y ≤ 1 Desenha esta região.
Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 3 y + 6 ≥ 0 x + 2 y - 3 ≤ 0
Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 x - y + 3 z = 11 4 x - 3 y + 2 z = 0 x + y + z = 6 3 x + y + z = 4