Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P1 - 2018.1, Questão 3

(I) Um sistema linear com mais equações do que incógnitas pode ter solução única.

(II) Um sistema linear com menos equações do que incógnitas pode ter solução única.

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) Ambas são verdadeiras

(d) Ambas são falsas

Passo 1

(I) Um sistema linear com mais equações do que incógnitas pode ter solução única

Essa afirmação é verdadeira. Se as equações que formam o sistema não forem inconsistentes (isto é, se as equações que tivermos a mais forem apenas combinações das outras), o sistema pode ter uma solução única, funcionando como um sistema com o mesmo número de equações e incógnitas mais algumas equações redundantes.

Se você não acredita nisso olha esse sistema:

x + y = 3 x - y = 1 x = 2

Ele tem só duas incógnitas x e y, mas tem 3 equações. Notem que a terceira é apenas a soma da primeira com a segunda. Ela não acrescenta nenhuma informação nova pra gente, nem é incompatível com as que vieram antes.

Esse sistema só possui uma solução, que é x , y = ( 2,1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(II) Um sistema linear com menos equações do que incógnitas pode ter solução única.

Essa afirmação é falsa. Quando temos menos equações do que incógnitas, temos duas possibilidades: ou o sistema tem solução (e elas são infinitas) ou então ele não possui nenhuma.

Um exemplo de um sistema que tem menos equações do que incógnitas, mas possui infinitas soluções é o seguinte:

x + y + z = 1 x - y + z =   - 3

(Sim, é o sistema da segunda questão dessa mesma prova!)

As soluções dele são da forma:

x , y , z = - 1,2 , 0 + < - 1,0 , 1 >

Porém podemos ter também o seguinte sistema:

x + y + z   + w   = 1 x = 7 x = 1

Ele não tem solução, porque é impossível x ser 7 e 1 ao mesmo tempo.

Resposta

(a) I é verdadeira e II é falsa

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