Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Para quais valores de k o sistema linear abaixo é possível e determinado?

x + y + z = 1 3 x - y + 2 z = 3 y + k z = - 2

Passo 1

Colocando o nosso sistema em uma matriz aumentada:

1 1 1 3 - 1 2 0 1 k 1 3 - 2

Escalonando:

L 2 → L 2 - 3 L 1   1 1 1 0 - 4 - 1 0 1 k 1 0 - 2

L 3 → 4 L 3 + L 2   1 1 1 0 - 4 - 1 0 0 4 k - 1 1 0 - 8

Passo 2

Sabemos que isso representa um sistema:

1 1 1 0 - 4 - 1 0 0 4 k - 1 x y z = 1 0 - 8

Da última linha, temos:

0 x + 0 y + 4 k - 1 z = - 8

Para qualquer valor de 4 k - 1 , vai existir um z tal que 4 k - 1 z = - 8 certo?

Errado hahaha 4 k - 1 não pode ser 0, pois nesse caso teríamos 0 z = - 8 e o sistema seria impossível.

Então para que o sistema seja possível determinado:

4 k - 1 ≠ 0

k ≠ 1 4

Logo, o sistema vai ser possível e determinado para qualquer valor de k , exceto 1 4 beleza?

Resposta

k ∈ R k ≠ 1 4

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