Utilize a tabela do exercício anterior (ver tabela abaixo) para calcular as integrais indefinidas abaixo:

d )   ∫ 1 - x ( 2 + x 2 ) d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão dá uma tabela de integrais e pede para calcularmos, com base nessa tabela, a seguinte integral:

∫ 1 - x ( 2 + x 2 ) d x

Mas primeiro podemos aplicar uma propriedade das integrais que está lá no final, na (xv): integral da soma é a soma das integrais! Então podemos multiplicar aquele produto notável, juntar os termos semelhantes e depois dividir em integrais

Ou seja, podemos dividir essa integral pouco complicada em três integrais mais simples:

∫ 1 - x ( 2 + x 2 ) d x = ∫ 2 + x 2 - 2 x - x 3 d x

Como não temos termos semelhantes, vamos dividir em 4 integrais:

∫ 1 - x ( 2 + x 2 ) d x = ∫ 2 d x + ∫ x 2 d x + ∫ - 2 x d x + ∫ - x 3 d x

Nossa missão agora é aplicar as fórmulas de integração da tabela para cada termo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos calcular as seguintes integrais

∫ 2 d x + ∫ x 2 d x + ∫ - 2 x d x + ∫ - x 3 d x

E temos uma tabela para nos ajudar:

As três últimas integrais são a integral de uma potência de x , tabelada na (ii), lembrando que as constantes -2 e -1 podemos sair para fora da integral, multiplicando o resultado encontrado. A primeira integral é integral de constante, que está na tabelada em (i).

Como cada uma delas vai fornecer uma constante C e sabendo que a soma de constantes é também uma constante, vou colocar + C no final que representa a soma das constantes de cada integral em separado.

Passo 3

Assim:

∫ 1 - x ( 2 + x 2 ) d x = ∫ 2 d x + ∫ x 2 d x + ∫ - 2 x d x + ∫ - x 3 d x

Aplicando a integral tabelada em (ii) e em (i):

∫ 1 - x ( 2 + x 2 ) d x = 2 x + x 3 3 - 2   . x 2 2 - 1 . x 4 4 + C

Podemos ainda simplificar o resultado:

= 2 x + x 3 3 - x 2 - x 4 4 + C

Encontramos que:

∫ 1 - x ( 2 + x 2 ) d x = 2 x + x 3 3 - x 2 - x 4 4 + C

Beleza? E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 1 - x ( 2 + x 2 ) d x = 2 x + x 3 3 - x 2 - x 4 4 + C

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