Utilize a tabela do exercício anterior (ver tabela abaixo) para calcular as integrais indefinidas abaixo:

h )   ∫ 1 1 + x 2 - t g 2 x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão dá uma tabela de integrais e pede para calcularmos, com base nessa tabela, a seguinte integral:

∫ 1 1 + x 2 - t g 2 x d x

Mas primeiro podemos aplicar uma propriedade das integrais que está lá no final, na (xv): integral da soma é a soma das integrais! Então podemos multiplicar aquele produto notável, juntar os termos semelhantes e depois dividir em integrais

Ou seja, podemos dividir essa integral pouco complicada em três integrais mais simples:

∫ 1 1 + x 2 - t g 2 x d x = ∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ - t g 2 x   d x

A primeira integral nós observamos em (iv), mas e a segunda?

e aqui vai um truque sujo: equação fundamental da trigonometria

t g 2 x = sec 2 ⁡ x + 1

Se fizermos essa substituição, ficamos com duas integrais: de uma constante, o 1, e a integral da secante ao quadrado, que está na tabela (ix)!

Nossa missão agora é aplicar as fórmulas de integração da tabela para cada termo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos calcular as seguintes integrais

∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ - t g 2 x   d x

E podemos fazer a substituição da tangente ao quadrado:

t g 2 x = sec 2 ⁡ x + 1

Daí ficamos com:

∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ - sec 2 ⁡ x + 1   d x = ∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ - sec 2 ⁡ x d x + ∫ - 1 d x

Bora integrar?

Temos uma tabela para nos ajudar:

A primeira integral pode ser resolvida usando (iv), a segunda usando (ix) e a terceira (i). Lembrando que a constante - 1 pode sair para fora da integral nas duas últimas, agora só nos resta resolver!

C e sabendo que a soma de constantes é também uma constante, vou colocar + C no final que representa a soma das constantes de cada integral em separado.

Passo 3

Assim:

∫ 1 1 + x 2 - t g 2 x d x = ∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ - sec 2 ⁡ x d x + ∫ - 1 d x

Aplicando a integral tabelada em (iv), (ix) e (i):

∫ 1 1 + x 2 d x - ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ 1 d x = a r c t g   x -   t g   x - x + C

Encontramos que:

∫ 1 1 + x 2 - t g 2 x d x = a r c t g   x -   t g   x - x + C

Beleza? E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 1 1 + x 2 - t g 2 x d x = a r c t g   x -   t g   x - x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Use um sistema de computação algébrica para calcular a integral. Compare a resposta com o resultado usando as tabelas. Se as respostas forem diferentes, mostre que elas são equivalentes. ∫ x 2 1 - x 2
Nestes exercícios, suponha que o objeto move-se com aceleração constante no sentido positivo de um eixo. Aplique as Fórmulas (10) e (11) conforme for apropriado. Em alguns dos problemas, você necessit
Uma partícula move-se com aceleração a tm / s 2 ao longo de um eixo s e tem velocidade v 0m / s no instante t = 0 . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de te
Nestes exercícios, suponha que o objeto move-se com aceleração constante no sentido positivo de um eixo. Aplique as Fórmulas (10) e (11) conforme for apropriado. Em alguns dos problemas, você necessit
Nestes exercícios, suponha que o objeto move-se com aceleração constante no sentido positivo de um eixo. Aplique as Fórmulas (10) e (11) conforme for apropriado. Em alguns dos problemas, você necessit