Calcule as integrais

∫ - ∞ + ∞ 1 1 + t 2 d t  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Precisamos resolver essa integral imprópria aqui

∫ - ∞ + ∞ 1 1 + t 2 d t

Pergunta de milhões: Como resolver?

A ideia é verificar primeiro se no intervalo dos limites de integração o integrando tem alguma indeterminação. No nosso caso não tem! Caso tivesse, precisaríamos dividir em duas integrais! e depois?

Depois é só integrar (usando as técnicas que a gente já conhece) e na hora de aplicar os limites, onde tiver infinito, a gente vai aplicar o limite!

Se a integral der um valor: então dizemos que ela converge! E se encontrarmos algum no resultado, dizemos que a integral diverge

Belê?

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Queremos calcular essa aqui

∫ - ∞ + ∞ 1 1 + t 2 d t

Vamos integrar a indefinida e depois aplicar nos limites

∫ 1 1 + t 2 d t

Usando substituição trigonométrica

t = tan ⁡ x ,   d t = sec 2 ⁡ x ,   1 + t 2 = 1 + tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Aí temos

∫ sec 2 ⁡ x d x sec 2 ⁡ x = ∫ d x = x

Voltando para t

= arctan ⁡ t

Beleza?

Agora nossa missão é aplicar esses limites!

Passo 3

Substituindo temos

arctan ⁡ t - ∞ ∞ = arctan ⁡ ∞ - arctan ⁡ - ∞

= π 2 - - π 2 = π

Ok?

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

π

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