Seja F o campo vetorial dado por F ( x , y , z ) = ( y 2 , 2 x y + z 2 , 2 y z ) :

a ) O campo vetorial F é conservativo? Caso seja positivo, encontre a função potencial f tal que ∇ f = F ;

b ) Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F acima, ao mover um objeto ao longo da curva dada pela função r ( t ) = ( t , t 2 , t 3 ) , ( - 1 ≤ t ≤ 1 ) .

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

A questão nos dá um campo vetorial

F ( x , y , z ) = ( y 2 , 2 x y + z 2 , 2 y z )

a primeira alternativa pede para que verifiquemos se F ( x , y , z ) é um campo conservativo, ou não. No caso do mesmo ser, é preciso encontrar uma função potencial ∇ f ( x , y , z ) = F ( x , y . z ) . Para que um campo seja conservativo esta função f ( x , y , z ) deve existir, e além disso, é necessário que

∇ × F ( x , y , z ) = 0

ou seja, o campo vetorial deve ter rotacional nulo! Iremos usar ambas estas necessidades para resolver a primeira alternativa! Se, o campo for conservativo, isso nos ajudará na segunda alternativa que pede para calcularmos o trabalho de uma força dada pelo campo vetorial ao longo da curva

r ( t ) = ( t , t 2 , t 3 ) , ( - 1 ≤ t ≤ 1 )

Isso é uma vantagem, pois se F ( x , y , z ) for conservativo, o trabalho pode ser calculado através do teorema fundamental da integral de linha como

W = ∫ r F ( x , y , z ) ⋅ d r = f ( x f , y f , z f ) - f ( x i , y i , z i )

em que P f = ( x f y f , z f ) e P i = ( x i , y i , z i ) são os pontos iniciais e finais, relativos ao início da curva em t = - 1 e o final em t = 1 . Vamos tentar fazer isso! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o rotacional do campo vetorial é nulo, temos que

Calculando o determinante, obtemos a seguinte relação

∇ × F ( x , y , z ) = ( ∂ ∂ y [ 2 y z ] - ∂ ∂ z [ 2 x y + z 2 ] ) x ^ + ( ∂ ∂ z [ y 2 ] - ∂ ∂ x [ 2 y z ] ) y ^ + ( ∂ ∂ y [ y 2 ] - ∂ ∂ x [ 2 x y + z 2 ] ) z ^

Lembrando que quando estamos derivando parcialmente, consideramos todas as outras variáveis que não estão sendo derivadas como constantes, portanto, podemos escrever as derivadas acima, da seguinte forma

∇ × F ( x , y , z ) = ( 2 z - 2 z ) x ^ + ( 0 - 0 ) y ^ + ( 2 y - 2 y ) z ^ = 0

O rotacional é nulo, portanto o primeiro passo para o nosso campo ser conservativo é válido! Nas derivadas acima foi necessário usar basicamente a regra do tombo para polinômios! Vamos procurar agora uma função potencial!

Passo 3

O enunciado nos dá a condição para que uma função seja uma função potencial, temos que

∇ f ( x , y , z ) = F ( x , y . z )

No lado esquerdo, temos o gradiente do potencial, lembrando que o gradiente é tal que

∇ f ( x , y , z ) = ( ∂ ∂ x [ f ( x , y , z ) ] , ∂ ∂ y [ f ( x , y , z ) ] , ∂ ∂ z [ f ( x , y , z ) ] )

De forma que obtemos três equações para a função potencial, lembrando que nosso campo vetorial é

F ( x , y , z ) = ( y 2 , 2 x y + z 2 , 2 y z )

podemos escrever as três equações como

∂ ∂ x [ f ( x , y , z ) ] = y 2

e, também que

∂ ∂ y [ f ( x , y , z ) ] = 2 x y   + z 2

e, por último

∂ ∂ z [ f ( x , y , z ) ] = 2 y z

Com estas três equações deve ser possível identificar quem será nossa função potencial! Vamos lá!

Passo 4

Vamos integrar “parcialmente” cada uma das equações acima, primeiro integrando em relação a x a primeira equação, temos que

f ( x , y , z ) = ∫ y 2 d x = y 2 x   + g ( y , z )

Note que ao integrar parcialmente em uma variável, nós não deixamos em aberto uma constante arbitrária, e sim uma função arbitrária nas outras duas variáveis! Agora, integrando parcialmente a segunda equação em y , temos que

f ( x , y , z ) = ∫ 2 x y   d y   + ∫ z 2 d y = x y 2 + z 2 y + h ( x , z )

e, por último, integrando parcialmente em z , temos

f ( x , y , z ) = ∫ 2 y z   d z   =   y z 2 + i ( x , y )

Será que é possível identificar quem são estas três funções? SIM! Se olharmos as três em conjunto, podemos encontrar termos em comum, e termos que se complementam. Por exemplo se tomarmos que i ( x , y ) = x y 2 , g ( y , z ) = y z 2 e que h ( x , z ) = 0 . Podemos escrever que nossa função potencial é simplesmente

f ( x , y , z ) = x y 2 + y z 2

Maravilha! Essa é a nossa alternativa a ) Vamos para a segunda agora!

Passo 5

Como vimos que o nosso campo vetorial é conservativo, podemos calcular o trabalho pedido pelo teorema da integral de linha, ou seja

W = ∫ r F ( x , y , z ) ⋅ d r = f ( x f , y f , z f ) - f ( x i , y i , z i )

Ainda precisamos saber quais são as coordenadas iniciais e finais no entanto. Isso é bastante direto já que nos foi dada a curva na forma

r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) = ( t , t 2 , t 3 )

em t = - 1 , nós obtemos que

( x i , y i , z i ) = ( - 1 , ( - 1 ) 2 , ( - 1 ) 3 ) = ( - 1,1 , - 1 )

da mesma forma, temos para t = 1 , que

( x f , y f , z f ) = ( 1 , ( 1 ) 2 , ( 1 ) 3 ) = ( 1,1 , 1 )

Ou seja, nosso trabalho é dado por

W = f ( 1,1 , 1 ) - f ( - 1,1 , - 1 )

Vamos usar a função potencial e terminar com essa questão! Bora lá!

Passo 6

Podemos calcular que

f ( 1,1 , 1 ) = ( 1 ) ( 1 ) 2 + ( 1 ) ( 1 ) 2 = 2

e, também que

f ( - 1,1 , - 1 ) = ( - 1 ) ( 1 ) 2 + ( 1 ) ( - 1 ) 2 = 0

Finalmente, o trabalho realizado por este campo vetorial ao longo da curva, é

W = 2 - 0 = 2

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

O campo é conservativo com f ( x , y , z ) = x y 2 + y z 2 e o trabalho realizado é W = 2 .

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