Sejam f x = ln ⁡ x 16 e g x = - ln ⁡ x . A área da região limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = 1 / 4 e x = 4 é igual a:

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Para calcular essa área da função, precisamos primeiro saber como esses gráficos se comportam dentro do gráfico. Temos então:

Sendo a área, a soma das áreas indicadas nas setas:

E agora precisamos achar esse ponto de intersecção. Tudo bem que pelo gráfico é fácil de achar que é 1, mas calculando isso sem a ajudinha do gráfico, temos:

ln ⁡ x 16 = - ln ⁡ x

Isolando,

ln ⁡ x 16 + ln ⁡ x = 0

Sendo x = 1 a única solução real.

Passo 2

Passo 3

Outro ponto bastante importante a se observar antes de calcular a área é que antes do ponto x = 1 , a função g ( x ) está “acima” da função f ( x ) . E após esse ponto, f ( x ) que está “acima” de g ( x ) . Isso é suuuper importante, pois vai nos ditar como vamos montar a nossa integral. Dentro dos intervalos de integração, quem está por cima vem primeiro na subtração. Segue o modelo. Primeiro calculando essa área:

Nela, g ( x ) está acima. Logo a integral vai ficar no formato:

∫ 1 / 4 1 g x - f x d x

Analogamente, para a segunda área,

∫ 1 4 f x - g x d x

E portanto, a área total vai ser a soma das duas áreas:

A T = ∫ 1 / 4 1 g x - f x d x +   ∫ 1 4 f x - g x d x

Passo 4

Agora bora resolver as integrais e achar a resposta da questão! Resolvendo:

A T = ∫ 1 / 4 1 g x - f x d x +   ∫ 1 4 f x - g x d x

Resposta

b)

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