Calcule as integrais

∫ - ∞ 0 t   e t d t  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Precisamos resolver essa integral imprópria aqui

∫ - ∞ 0 t   e t d t

Pergunta de milhões: Como resolver?

A ideia é verificar primeiro se no intervalo dos limites de integração o integrando tem alguma indeterminação. No nosso caso não tem! Caso tivesse, precisaríamos dividir em duas integrais! e depois?

Depois é só integrar (usando as técnicas que a gente já conhece) e na hora de aplicar os limites, onde tiver infinito, a gente vai aplicar o limite!

Se a integral der um valor: então dizemos que ela converge! E se encontrarmos algum no resultado, dizemos que a integral diverge

Belê?

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Queremos calcular essa aqui

∫ - ∞ 0 t   e t d t

Vamos integrar a indefinida e depois aplicar nos limites

∫ t   e t d t

Usando por partes

u = t ,   d u = d t

d v = e t d t ,   v = e t

Lembrando que por partes é

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

∫ t e t d t = t e t - ∫ e t d t = t e t - e t

Beleza?

Agora nossa missão é aplicar esses limites!

Passo 3

Substituindo temos

t e t - e t - ∞ 0 = 0 e 0 - e 0 - lim t → - ∞ ⁡ t e t - e t

Ok?

vamos resolver os limites em separado

lim t → - ∞ ⁡ t e t = lim t → - ∞ ⁡ t 1 e t = ⏝ L ' H o p i t a l lim t → - ∞ ⁡ 1 - e - t = 0

lim t → - ∞ ⁡ - e t = - 1 - ∞ = 0

Assim temos que nossa integral é

t e t - e t - ∞ 0 = 0 e 0 - e 0 - lim t → - ∞ ⁡ t e t - e t

= - 1

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

- 1

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