Determine se ∫ 0 ∞ 1 x 6 + 1 d x converge ou diverge.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se a seguinte integral imprópria é divergente ou convergente

∫ 0 ∞ 1 x 6 + 1 d x

não precisamos resolver a integração, mas analisar os critérios de convergência de forma a garantir que ela retorne algum valor finito (ou não)! Vamos começar!

Passo 2

Vamos dividir a nossa integral em dois termos da forma

∫ 0 ∞ 1 x 2 + 1 d x = ∫ 0 1 1 x 6 + 1 d x + ∫ 1 ∞ 1 x 6 + 1 d x

note que o primeiro termo é uma integral ordinária, e não uma integral imprópria, então, vamos analisar apenas o termo que pode divergir, que é a segunda integral! Note que podemos garantir que

1 x 6 + 1 < 1 x 6 = 1 x 3

Portanto, vamos analisar a integral

∫ 1 ∞ 1 x 3 d x

e ver se ela converge! Saca só!

Passo 3

Essa integral pode ser reescrita como

∫ 1 ∞ 1 x 3 d x = l i m b → ∞ ∫ 1 b x - 3 d x

integral que pode ser identificada como

∫ 1 b x - 3 d x = x - 2 - 2 | 1 b = - 1 2 x 2 | 1 b

Avaliando os limites de integração, temos que

∫ 1 b x - 3 d x = 1 2 ( 1 2 - 1 b 2 )

Agora, se avaliarmos o limite

l i m b → ∞ ∫ 1 b x - 3 d x = l i m b → ∞ 1 2 ( 1 2 - 1 b 2 ) = 1 4

Garantimos a convergência de

∫ 1 ∞ 1 x 3 d x

Como necessariamente esta integral é maior do que

∫ 1 ∞ 1 x 6 + 1 d x

A nossa integral é definitivamente convergente! Garantindo então que a soma

∫ 0 ∞ 1 x 2 + 1 d x = ∫ 0 1 1 x 6 + 1 d x + ∫ 1 ∞ 1 x 6 + 1 d x

é convergente! Como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A integral é convergente!

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