Sejam f e g funções contínuas com:

∫ 1 2 f x   d x = - 4 ,             ∫ 1 5 f x   d x = 6 ,             ∫ 1 5 g x   d x = 8 .

Calcule as seguintes integrais:

f )   ∫ 1 5 4 f x - g x   d x

Passo 1

Faaalaa galera bonita, tudo em paz com vocês?

Nessa questão recebemos o resultado de 3 integrais e a partir delas precisaremos calcular outras. A ideia principal é exercitarmos as propriedades da integração.

Então, antes de mais nada, vamos dar uma revisada nas propriedades mais importantes beleza?

1 )   ∫ a a f x   d x = 0

2 )   ∫ a b f x   d x = - ∫ b a f x   d x

3 )   ∫ a b a ⋅ f x   d x = a ⋅ ∫ a b f x   d x

4 )   ∫ a c f x   d x = ∫ a b f x   d x + ∫ b c f x   d x

5 )   ∫ a b f x + g x d x = ∫ a b f x   d x + ∫ a b g x   d x

Excelente! Agora que já revisamos as propriedades, vamos aplicá-las nesse item.

Passo 2

Bom, nesse item recebemos a ilustre missão de calcular a seguinte integral:

∫ 1 5 4 f x - g x   d x

Como temos uma operação de funções no integrando, podemos usar a propriedade 5 ) , segundo ela a integral da soma é a soma das integrais. Assim:

∫ 1 5 4 f x - g x   d x = ∫ 1 5 4 f x   d x + ∫ 1 5 - 1 g x d x

Agora, em cada uma dessas integrais, temos uma constante multiplicando as funções do integrando. Pela propriedade 3 ) , podemos colocar essas constantes pra fora. Daí, ficamos com:

∫ 1 5 4 f x   d x + ∫ 1 5 - 1 g x d x = 4 ⋅ ∫ 1 5 f x   d x - ∫ 1 5 g x   d x

Substituindo os dados do enunciado, vem:

4 ⋅ ∫ 1 5 f x   d x - ∫ 1 5 g x   d x = 4 ⋅ 6 - 8

= 16

Excelente demais galerinha!

Matamos mais uma questão! Espero que vocês tenham conseguido revisar bem essas propriedades.

Até a próxima 😊

Resposta

16

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