10.5 Decida se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique as verdadeiras e corrija adequadamente as falsas.

b) Se f x = x 2 sen ⁡ x , então ∫ - 2 4 f x d x = ∫ 2 4 f x d x .

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão foi dada a função f x = x 2 sen ⁡ x e a afirmação é que ∫ - 2 4 f x d x = ∫ 2 4 f x d x . Precisamos dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Pra isso vamos lembrar da propriedade de integrais, quando queremos dividir o intervalo de integração em dois:

∫ a c f x d x   = ∫ a b f x d x + ∫ b c f x d x

E da propriedade de quando a função é ímpar e os limites de integração são simétricos:

∫ - a a f x d x = 0

Passo 2

Podemos reescrever a integral:

∫ - 2 4 f x d x = ∫ - 2 2 f x d x + ∫ 2 4 f x d x

Repara que a função f x é a multiplicação de uma função par: x 2 com uma função ímpar: sen ⁡ x , então f x é ímpar.

Como f x é ímpar e os limites são simétricos, então:

∫ - 2 2 f x d x = 0

Portanto:

∫ - 2 4 f x d x = ∫ 2 4 f x d x

A afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira

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