Resolva as integrais seguintes:

a) Inspirada na galinha dos ovos integrais (SQ1733)

∫ 1 4 5 x 2 - x x 3 d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral definida na forma:

∫ 1 4 5 x 2 - x x 3 d x

Pra resolvê-la vamos usar algumas propriedades de integração, como a integral da soma e subtração, e transformá-la em duas integrais mais simples de resolver.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, o primeiro passo aqui é tentar escrever esse integrando de uma forma mais simples. Pra isso, a gente tem que lembrar do teorema que diz que a integral da soma é igual a soma das integrais:

∫ a b f x ± g x d x = ∫ a b f x d x ± ∫ a b g x d x

Repara que na nossa integral, temos f x = 5 x 2 x 3 e g x = x x 3 . Então fica assim:

∫ 1 4 5 x 2 - x x 3 d x = ∫ 1 4 5 x 2 x 3 d x - ∫ 1 4 x x 3 d x

Simplificando ali o x 2 / x 3 , temos:

∫ 1 4 5 x d x - ∫ 1 4 x x 3 d x

Também dá pra gente simplificar a raiz de x , porque x = x 1 2 . Então,

x 1 2 x 3 = x 1 2 - 3 = x - 5 2

Colocando isso na integral:

∫ 1 4 5 x d x - ∫ 1 4 x - 5 2   d x

Passo 3

Agora a gente pode resolver as duas integrais separadamente, lembrando de algumas regrinhas, tipo:

∫ a b 1 x d x = ln ⁡ x a b

E que pra uma função polinomial:

∫ a b x n   d x = x n + 1 n + 1 a b

Beleza, então pra primeira integral, temos:

∫ 1 4 5 x d x = 5 ∫ 1 4 1 x d x = 5 ln ⁡ x 1 4

E na segunda integral:

∫ 1 4 x - 5 2   d x = x - 5 2 + 1 - 5 2 + 1 1 4 = x - 3 2 - 3 2 1 4 = - 2 3 x - 3 2 1 4

Agora vamos juntar as duas e aplicar os intervalos de integração:

∫ 1 4 5 x d x - ∫ 1 4 x - 5 2   d x = 5 ln ⁡ x + 2 3 x - 3 2 1 4

= 5 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 1 + 2 3 4 - 3 2 - 1 - 3 2

Mas 4 - 3 2 = 1 4 3 e ln ⁡ 1 = 0 , então temos:

5 ln ⁡ 4 + 2 3 1 8 - 1

5 ln ⁡ 4 - 7 12

Mas fica ligado que o resultado também pode aparecer assim:

10 ln ⁡ 2 - 7 12

Isso porque, pela propriedade dos logaritmos: 5 ln ⁡ 4 = 5 ln ⁡ 2 2 = ( 5 ∙ 2 ) ln ⁡ 2 = 10 ln ⁡ 2 . Beleza?

É isso aí, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

10 ln ⁡ 2 - 7 12

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