Determine se ∫ 3 ∞ x x 5 + x 3 d x converge ou diverge.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se a seguinte integral imprópria é divergente ou convergente

∫ 3 ∞ x x 5 + x 3 d x

não precisamos resolver a integração, mas analisar os critérios de convergência de forma a garantir que ela retorne algum valor finito (ou não)! Vamos começar!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é evidenciar x 2 no radicando, pois permite que

∫ 3 ∞ x x 5 + x 3 d x = ∫ 3 ∞ x x 2 ( x 3 + x ) d x = ∫ 3 ∞ 1 x 3 + x d x

esta expressão é o mesmo que

∫ 3 ∞ 1 x 3 + x d x = ∫ 3 ∞ 1 x x 2 + 1 d x

Nós podemos garantir que

1 x x 2 + 1 ≤ 1 x x 2 = 1 x 3 / 2

Vamos tentar resolver então a integral

∫ 3 ∞ 1 x 3 / 2 d x

Vem comigo!

Passo 3

Essa integral pode ser reescrita como

∫ 3 ∞ 1 x 3 / 2 d x = l i m b → ∞ ∫ 3 b x - 3 / 2 d x

integral que pode ser identificada como

∫ 3 b x - 3 / 2 d x = x - 1 / 2 - 1 / 2 | 3 b = - 2 1 x | 3 b

Avaliando os limites de integração, temos que

∫ 3 b x - 3 / 2 d x = 2 ( 1 3 - 1 b )

Agora, se avaliarmos o limite

l i m b → ∞ ∫ 3 b x - 3 / 2 d x = l i m b → ∞ 2 ( 1 3 - 1 b ) = 2 3

Garantimos a convergência de

∫ 3 ∞ 1 x 3 / 2 d x

Como necessariamente esta integral é maior do que

∫ 3 ∞ x x 5 + x 3 d x

A nossa integral é definitivamente convergente! A questão foi essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A integral é convergente!

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