10.7 Decida se a integral

∫ - ∞ ∞ x 2 x 6 + 9 d x

É convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule seu valor.

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos verificar se a integral ∫ - ∞ ∞ x 2 x 6 + 9 d x é convergente ou divergente.

O primeiro passo é a gente substituir esse infinito por uma letra qualquer, tipo A:

∫ - ∞ ∞ x 2 x 6 + 9 d x = ∫ - A A x 2 x 6 + 9 d x

Daí a gente resolver essa integral normalmente.

Depois de achar, calculamos o limite com A tendendo ao infinito:

lim A → ∞ ⁡ f ( A ) = …

Se der um número bonitinho, a integral é convergente, maaas se der infinito, a integral é divergente.

Passo 2

Calculando a integral...

Já querendo que a parte de cima da fração seja parecido com a derivada de alguma coisa que tenha na parte de baixo, pra facilitar e usar substituição simples, podemos reescrever:

∫ - A A x 2 x 6 + 9 d x = ∫ - A A x 2 x 3 2 + 9 d x

Usamos substituição simples:

u = x 3 ��� d u = 3 x 2 d x

→ x 2 d x = d u 3

E os limites de integração:

x = A → u = A 3

x = - A → u = - A 3

Então:

∫ - A A x 2 x 3 2 + 9 d x = ∫ - A 3 A 3 1 u 2 + 9 d u 3

Colocando o 9 em evidência, embaixo:

= 1 3 ∫ - A 3 A 3 1 9 u 2 9 + 1 d u

= 1 27 ∫ - A 3 A 3 1 u 3 2 + 1 d u

Passo 3

Ta meio parecido com a integral de arco tangente, né??

Mas precisamos usar substituição de novo:

v = u 3 → d v = d u 3

d u = 3 d v

Para os intervalos de integração:

u = A 3 → v = A 3 3

u = - A 3 → v = - A 3 3

Então:

1 27 ∫ - A 3 A 3 1 u 3 2 + 1 d u = 1 27 ∫ - A 3 3 A 3 3 1 v 2 + 1 3 d v

= 3 27 ∫ - A 3 3 A 3 3 1 v 2 + 1 d v

= 1 9 ∫ - A 3 3 A 3 3 1 v 2 + 1 d v

= 1 9 atan ⁡ v - A 3 3 A 3 3

= 1 9 atan ⁡ A 3 3 - atan ⁡ - A 3 3

Como arcotangente é uma função ímpar, então:

= 1 9 atan ⁡ A 3 3 + atan ⁡ A 3 3

= 2 9 atan ⁡ A 3 3

Passo 4

Agora fazemos o limite com A tendendo a infinito:

lim A → ∞ ⁡ 2 9 atan ⁡ A 3 3 = …

Lembra quando que tangente vai pra infinito?? Quando o ângulo é π 2 .

Então:

= 2 9 π 2

= π 9

Como deu um número, a integral é convergente e vale π 2 .

Resposta

π 9

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