Seja s > 1 e calcule

∫ 1 ∞ 1 x s d x  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Precisamos resolver essa integral imprópria aqui

∫ 1 ∞ 1 x s d x

Com s > 1

Pergunta de milhões: Como resolver?

A ideia é verificar primeiro se no intervalo dos limites de integração o integrando tem alguma indeterminação. No nosso caso não tem! Caso tivesse, precisaríamos dividir em duas integrais! e depois?

Depois é só integrar (usando as técnicas que a gente já conhece) e na hora de aplicar os limites, onde tiver infinito, a gente vai aplicar o limite!

Se a integral der um valor: então dizemos que ela converge! E se encontrarmos algum no resultado, dizemos que a integral diverge

Belê?

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Queremos calcular essa aqui

∫ 1 ∞ 1 x s d x

Vamos integrar a indefinida e depois aplicar nos limites

∫ 1 x s d x = x - s + 1 ( - s + 1 ) = 1 - s + 1 x s - 1

Beleza?

Agora nossa missão é aplicar esses limites!

Passo 3

Substituindo temos

1 - s + 1 x s - 1 1 ∞ = - 1 - s + 1 ∞ s - 1 ⏝ = 0 - 1 - s + 1 = 1 s - 1

Ok?

Sendo assim temos que essa integral converge para 1 s - 1 com s > 1

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 s - 1

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