Calcular a área delimitada por y 2 = 4 t x e x 2 = 4 t y .

a ) A intersecção será correspondente a x = 6 t e a área 16 t 2 7   u . a .

b ) A intersecção será correspondente a x = 8 t e a área 17 t 2 5 u . a .

c ) A intersecção será correspondente a x = 4 t e a área 16 t 2 3 u . a .

d ) A intersecção será correspondente a x = 11 t e área 5 t 2 8 u . a .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Nós precisamos calcular a área entre duas curvas, sendo elas, y 2 = 4 t x e x 2 = 4 t y , as alternativas dão informações sobre as intersecções entre as curvas, o que será necessário para calcularmos os limites de integração durante o problema, assim como dá a resposta em u . a . (unidades de área). Vamos começar visualizando a nossa região, ela é da seguinte forma

Para o plot da região utilizei t = 1 , portanto, ignore os valores nos gráficos, belezinha? A área de uma região pode ser obtida calculando a área sob a curva de cima, e então, subtrair a área da curva de baixo, isso pode ser obtido resolvendo a seguinte integração

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

Vamos utilizar isso para resolver a nossa questão!

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar quem são os nossos limites de integração. Assim como a figura indica, isso acontece em dois pontos onde as curvas se interceptam! A intersecção pode ser obtida fazendo

f x = g ( x )

Em que temos f x = 4 t x e g x = x 2 / 4 t . Portanto, temos

4 t x = x 2 4 t → 4 t x = x 4 16 t 2

Podemos obter x como

x 3 = 64 t 3 → x = 4 t

Observando o gráfico, esta é a intersecção final, a inicial é obtida em x = 0 , único outro ponto onde a igualdade das funções é mantida. Vamos então escrever a nossa integral!

Passo 3

Temos a seguinte integral para a área

A = ∫ 0 4 t 4 t x - x 2 4 t d x = ∫ 0 4 t 4 t x d x - ∫ 0 4 t x 2 4 t d x  

Vamos resolver uma integral de cada vez!

Passo 4

Vamos resolver primeiro

∫ 0 4 t 4 t x d x

Ela pode ser reescrita da seguinte maneira

∫ 0 4 t 4 t x d x = 4 t ∫ 0 4 t x d x = 4 t x 1 2 + 1 1 2 + 1 0 4 t

Resolvendo os últimos detalhes e expandindo os índices, temos

∫ 0 4 t 4 t x d x = 2 3 4 t x 3 2 0 4 t = 2 3 4 t 4 t 3 2

Que pode ser escrito como

∫ 0 4 t 4 t x d x = 2 3 4 t 2

A primeira integral foi isso! Vamos resolver a outra!

Passo 5

Temos

∫ 0 4 t x 2 4 t d x = 1 4 t ∫ 0 4 t x 2 d x

Identificando a nossa primitiva como

1 4 t ∫ 0 4 t x 2 d x = 1 4 t x 2 + 1 2 + 1 0 4 t = 1 12 t x 3 ​ 0 4 t

Avaliando os limites, temos

∫ 0 4 t x 2 4 t d x = 1 12 t 4 t 3 = 4 12 4 t 2 = 1 3 4 t 2

Só falta juntar tudo agora! Vamos lá!

Passo 6

Finalmente, temos a nossa área como

A = ∫ 0 4 t 4 t x d x - ∫ 0 4 t x 2 4 t d x = 2 3 4 t 2 - 1 3 4 t 2

Somando ambos os termos

A = 1 3 4 t 2 = 16 t 2 3

Portanto, como nossa intersecção ocorreu em x = 4 t e a área é A = 16 t 2 / 3 . A única alternativa verdadeira é a c ) . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F F V F

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