Mostre que a integral ∫ 1 ∞ s e n 2 ( x ) x ( x + 1 ) d x converge.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que mostrar que a seguinte integral é convergente

∫ 1 ∞ s e n 2 ( x ) x ( x + 1 ) d x

não precisamos resolver a integração, mas analisar os critérios de convergência de forma a garantir que ela retorne algum valor finito! Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

Vamos analisar primeiro a integral

∫ 1 ∞ 1 x ( x + 1 ) d x

essa integral pode ser escrita como

l i m b → ∞ ∫ 1 b 1 x ( x + 1 ) d x

vamos tentar fazer uma substituição simples da forma

u = x e d u = 1 2 x d x

portanto, temos que

d x = 2   u d u

A nossa integral se torna

l i m b → ∞ ∫ 1 b 1 x ( x + 1 ) d x = l i m b → ∞ ∫ u ( 1 ) u ( b ) 2 u   d u u 2 ( u + 1 ) = 2 l i m b → ∞ ∫ 1 b d u u ( u + 1 )

Vamos expandir usando frações parciais! Saca só!

Passo 3

Usando frações parciais temos que

1 u ( u + 1 ) = A u + B u + 1

de maneira que

1 = A ( u + 1 ) + B u

comparando os coeficientes em ambos os lados da equação, temos que

A + B = 0 e A = 1

Portanto, B = - 1 , e a nossa integral se torna

2 l i m b → ∞ ∫ 1 b d u u ( u + 1 ) = 2 l i m b → ∞ ∫ 1 b d u u - 2 l i m b → ∞ ∫ 1 b d u u + 1

estas integrais podem ser identificadas como

2 l i m b → ∞ [ l n ( u ) - l n ( u + 1 ) ] | 1 b = 2 l i m b → ∞ [ l n ( u u + 1 ) ] | 1 b

Avaliando os limites temos que

2 l i m b → ∞ [ l n ( b b + 1 ) ] - 2 l i m b → ∞ l n ( 1 1 + 1 )

ou simplesmente

2 l i m b → ∞ [ l n ( b b + 1 ) ] - 2 l i m b → ∞ l n ( 1 / 2 )

usando propriedades do logaritmo podemos escrever que

2 l i m b → ∞ [ l n ( b b + 1 ) ] + 2 l n ( 2 )

já que o segundo termo não depende de b . Vamos analisar o limite no primeiro termo!

Passo 4

Propriedades do limite permitem escrever

l i m b → ∞ [ l n ( b b + 1 ) ] = l n ( l i m b → ∞ b b + 1 )

esse limite é uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , então, se aplicarmos L'hospital, temos que

l i m b → ∞ b b + 1 = l i m b → ∞ 1 / 2 b 1 / 2 b = 1

Portanto, podemos garantir que

l n ( l i m b → ∞ b b + 1 ) = l n ( 1 ) = 0

Sendo assim, temos que a nossa integral é dada por

l i m b → ∞ ∫ 1 b 1 x ( x + 1 ) d x = 2   l n ( 2 )

que é convergente! Mas isso nos ajuda de alguma forma? Temos que

s e n 2 ( x ) ≤ 1

se dividirmos ambos os lados por x ( x + 1 ) , temos que

s e n 2 ( x ) x ( x + 1 ) ≤ 1 x ( x + 1 )

se temos que a relação acima é verdadeira e que

l i m b → ∞ ∫ 1 b 1 x ( x + 1 ) d x

é convergente, então por comparação, temos que

∫ 1 ∞ s e n 2 ( x ) x ( x + 1 ) d x

também é convergente! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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