Seja f : R + → I ;   I ⊂ R , definida abaixo:

f x = ∫ x 2 1 x cos ⁡ ( sin ⁡ t ) d t

  1. Determine se f é inversível em seu domínio.
  2. Determine quantas raízes f possui.

Passo 1

Faaaala, molecada! Repara que se supormos que a função não seja injetora, temos que existem a , b ∈ R + , tais que:

f a = f b

E daí, pelo Teorema de Rolle, como f é contínua e diferenciável, temos que existe c ∈ ( a , b ) tal que:

f ' c = 0

Contudo, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo na função, temos:

f ' ( x ) = 1 x ' cos ⁡ sin ⁡ 1 x - x 2 ' cos ⁡ ( sin ⁡ ( x 2 ) )

= - 1 x 2 cos ⁡ sin ⁡ 1 x - 2 x cos ⁡ ( sin ⁡ ( x 2 ) )

Contudo, observe que

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x , sin ⁡ x 2 ≤ 1

Logo, segundo o círculo trigonométrico abaixo, observe que esses senos como argumento de cossenos, fazem-nos tomarem valores positivos.

Assim,

cos ⁡ sin ⁡ 1 x ,       cos ⁡ sin ⁡ x 2 > cos ⁡ 1 > 0

Tal que para x ∈ R + , domínio de f , temos:

f ' x = - 1 x 2 cos ⁡ sin ⁡ 1 x - 2 x cos ⁡ sin ⁡ x 2 < 0

Desta contradição, temos que f tem de ser injetora. Assim, se definirmos I = I m ( f ) , temos f bijetora e, portanto, inversível.

Passo 2

Para respondermos a letra ( b ) é sempre valioso relembrarmos que funções integrais são nulas quando seus limites se igualam. No caso de:

f x = ∫ x 2 1 x cos ⁡ ( sin ⁡ t ) d t

Isto ocorre para:

1 x = x 2 ,       x ∈ R +

⇒ x 3 - 1 = 0 ⇒ x - 1 x 2 + x + 1 = 0

Para x > 0 , x 2 + x + 1 > 0 , logo: x = 1 . Como f é injetora, essa deve ser a única raiz de f .

Resposta

  1. f é inversível.
  2. Apenas x = 1 é raiz.

Exercícios de Livros Relacionados

Use um sistema de computação algébrica para calcular a integral. Compare a resposta com o resultado usando as tabelas. Se as respostas forem diferentes, mostre que elas são equivalentes. ∫ x 2 1 - x 2
Nestes exercícios, suponha que o objeto move-se com aceleração constante no sentido positivo de um eixo. Aplique as Fórmulas (10) e (11) conforme for apropriado. Em alguns dos problemas, você necessit
Uma partícula move-se com aceleração a tm / s 2 ao longo de um eixo s e tem velocidade v 0m / s no instante t = 0 . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de te
Nestes exercícios, suponha que o objeto move-se com aceleração constante no sentido positivo de um eixo. Aplique as Fórmulas (10) e (11) conforme for apropriado. Em alguns dos problemas, você necessit
Nestes exercícios, suponha que o objeto move-se com aceleração constante no sentido positivo de um eixo. Aplique as Fórmulas (10) e (11) conforme for apropriado. Em alguns dos problemas, você necessit