Utilize a tabela do exercício anterior (ver tabela abaixo) para calcular as integrais indefinidas abaixo:

e )   ∫ 4 x - 3 x 3 + 2 x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão dá uma tabela de integrais e pede para calcularmos, com base nessa tabela, a seguinte integral:

∫ 4 x - 3 x 3 + 2 x d x

Mas primeiro podemos aplicar uma propriedade das integrais que está lá no final, na (xv): integral da soma é a soma das integrais!

E podemos trazer tanto o x 3 para o numerador (trocando o sinal do expoente) quanto o x (podemos escrever raiz como expoente fracionário), e assim aplicar a fórmula (ii) da tabela! Já a primeira integral é similar a (iii), a menos de uma constante.

Essa constante (assim como as outras das outras integrais) pode sair para fora da integral, multiplicando o resultado.

Ou seja, podemos dividir essa integral pouco complicada em três integrais mais simples:

∫ 4 x - 3 x 3 + 2 x d x = ∫ 4 x d x + ∫ - 3 x 3 d x + ∫ 2 x d x

Nossa missão agora é aplicar as fórmulas de integração da tabela para cada termo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos calcular as seguintes integrais

∫ 4 x d x + ∫ - 3 x 3 d x + ∫ 2 x d x

E temos uma tabela para nos ajudar:

As duas últimas integrais são a integral de uma potência de x , tabelada na (ii), lembrando que as constantes -3 e 2 podemos sair para fora da integral, multiplicando o resultado encontrado. A primeira integral é integral de 1 / x , que está na tabelada em (iii).

Como cada uma delas vai fornecer uma constante C e sabendo que a soma de constantes é também uma constante, vou colocar + C no final que representa a soma das constantes de cada integral em separado.

Passo 3

Assim:

∫ 4 x - 3 x 3 + 2 x d x = ∫ 4 x d x + ∫ - 3 x 3 d x + ∫ 2 x d x = 4 ∫ 1 x d x - 3 ∫ x - 3 d x + 2 ∫ x - 1 / 2 d x

Aplicando a integral tabelada em (ii) e em (i):

∫ 4 x - 3 x 3 + 2 x d x = 4 . ln ⁡ | x | - 3 . x - 2 - 2 + 2 . x 1 2 1 2 + C

Podemos ainda simplificar o resultado:

= 4 ln ⁡ | x | + 3 2 . 1 x 2 + 4 x + C

Encontramos que:

∫ 4 x - 3 x 3 + 2 x d x = 4 ln ⁡ | x | + 3 2 x 2 + 4 x + C

Beleza? E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 4 x - 3 x 3 + 2 x d x = 4 ln ⁡ | x | + 3 2 x 2 + 4 x + C

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