Resolva as integrais seguintes:

a)

∫ 1 4 1 + x x x d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral definida na forma:

∫ 1 4 1 + x x x d x

Pra resolvê-la vamos usar algumas propriedades de integração, como a integral da soma e subtração, e transformá-la em duas integrais mais simples de resolver.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, o primeiro passo aqui é tentar escrever esse integrando de uma forma mais simples. Pra isso, a gente tem que lembrar do teorema que diz que a integral da soma é igual a soma das integrais:

∫ a b f x ± g x d x = ∫ a b f x d x ± ∫ a b g x d x

Repara que na nossa integral, temos f x = 1 x e g x = x x x . Então fica assim:

∫ 1 4 1 + x x x   d x = ∫ 1 4 1 x d x + ∫ 1 4 x x x   d x

Simplificando ali o x x x , temos:

∫ 1 4 1 x d x + ∫ 1 4 x   d x

Também dá pra gente escrever a raiz de x na forma x 1 2 . Como ele tá no denominador, o expoente fica negativo. Assim,

∫ 1 4 x - 1 2   d x + ∫ 1 4 x   d x

Passo 3

Agora a gente pode resolver as duas integrais separadamente, lembrando da regrinha do expoente na integral de funções polinomiais:

∫ a b x n   d x = x n + 1 n + 1 a b

Beleza, então pra primeira integral, temos:

∫ 1 4 x - 1 2   d x = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 1 4 = x 1 2 1 2 1 4 = 2 x 1 4

Integrando a segunda, temos:

∫ 1 4 x   d x = x 1 + 1 1 + 1 1 4 = x 2 2 1 4

Agora vamos juntar as duas e aplicar os intervalos de integração:

∫ 1 4 x - 1 2   d x + ∫ 1 4 x   d x = 2 x + x 2 2 1 4

= 2 4 + ( 4 ) 2 2 - 2 1 + ( 1 ) 2 2

= 19 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

19 2

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