9.5 Seja G x = ∫ 1 x ln ⁡ u u d u definida para u > 0 . Mostre que G x é crescente.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos mostrar que G x é crescente.

Pra isso vamos mostrar que sua derivada é sempre maior ou igual a zero.

Pra achar a derivada vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo que diz que se f t é uma função contínua em a , b e g x = ∫ a x f t d t   com a ≤ x ≤ b , então g x também é contínua no intervalo a , b e g ' x = f x , no intervalo a , b .

Passo 2

Como a integral já está bonitinha e pronta pra aplicar o teorema (com a constante no limite de integração inferior e com x no limite de integração superior), então:

G ' x = ln ⁡ x x

Temos uma função logarítmica e o log tem algumas particularidades.

O x é sempre maior ou igual a zero, né?

E a função log seria negativa somente entre 0 < x < 1 e quando x = 1   temos ln ⁡ 1 = 0 .

Maaaaas repara que o limite inferior da integral é 1, então só estamos interessados em analisar essa derivada a partir de x = 1 .

Como em x = 1 a derivada é igual a zero e com x > 0 a derivada é positiva, então a função G ( x ) é crescente.

Resposta

Demonstração

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