Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada equação linear é ou não homogênea.

( a )   x 2 ∂ 2 y x x u + y 2 ∂ 2 y u - l o g ( 1 + y 2 ) u = 0 ;

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O enunciado pede para classificarmos as equações diferenciais parciais apresentadas nas alternativas. Neste caso temos a seguinte equação diferencial

x 2 ∂ 2 y x x u + y 2 ∂ 2 y u - l o g ( 1 + y 2 ) u

elas podem ser classificadas pela sua ordem, determinada pelo maior grau da derivada, ou seja, se a maior derivada é da forma ∂ n temos uma equação de grau n . A linearidade da equação diferencial pode ser analisada tendo em vista o seguinte formato

A ( x , y ) u x x + B ( x , y ) u x y + C ( x , y ) u y y + G ( x , y , u , u x , u y ) = 0

esse é o exemplo de uma equação diferencial parcial de segunda ordem quasi-linear, note que não há funções das derivadas segundas da função u ( x , y ) . Ela será linear se não houverem sequer funções compostas com a função u ( x , y ) , por exemplo

A ( x , y ) u x x + B ( x , y ) u x y + C ( x , y ) u y y + D ( x , y ) u x + E ( x , y ) u y + F ( x , y ) u + G ( x , y ) = 0

e por último, temos que a homogeneidade da equação diferencial é determinada observando se G ( x , y ) = 0 (equação homogênea) ou G ( x , y ) ≠ 0 (equação não-homogênea). Uff… Com tudo isso relembrado, acho que conseguimos classificar a nossa equação! Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte equação diferencial

x 2 ∂ 3 y x x u + y 2 ∂ 2 y u - l o g ( 1 + y 2 ) u

a maior derivada é de grau 3 portanto a equação é de terceira ordem, também não temos nenhuma função de u ,   ∂ u ou ∂ n u , portanto, a equação diferencial é linear. E, note também que não há nenhuma função G ( x , y ) que não acompanhe u ( x , y ) ou suas derivadas, portanto, a equação é homogênea! Maravilha! A primeira alternativa foi isso! Até a próxima!

Resposta

Equação de terceira ordem, linear e homogênea.

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π