Dado que g ( ω ) = ℱ { f ( x ) } mostre as seguintes propriedades da transformada.

( a ) ℱ { f ( x - b ) } ( ω ) = e - i b ω g ( ω )

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado pede para demonstrarmos a seguinte propriedade das transformadas de Fourier

ℱ { f ( x - b ) } ( ω ) = e - i b ω g ( ω )

em que g ( ω ) = ℱ { f ( x ) } . Para fazermos isso vamos partir da definição de transformada de Fourier, dada por

ℱ { f ( x ) } = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

Vamos precisar substituir f ( x ) por f ( x - b ) e ver se é possível manipular a integral de forma a obter a expressão que desejamos! Bora lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo

ℱ { f ( x - b ) } ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x - b ) e - i ω x d x

a variável x é uma variável “muda”, ou seja, ela na verdade não faz diferença, podemos chamá-la do que bem entendemos. Mas isso ajuda no quê? Note que se eu fizer a mudança de variáveis

x ' = x - b e d x ' = d x

podemos escrever a nossa integral como

∫ - ∞ ∞ f ( x - b ) e - i ω x d x = ∫ - ∞ ∞ f ( x ' ) e - i ω ( x ' + b ) d x '

Usando a propriedade da exponencial, podemos separar a exponencial em duas, de forma que obtemos

∫ - ∞ ∞ f ( x - b ) e - i ω x d x = e - i ω b ∫ - ∞ ∞ f ( x ' ) e - i ω x ' d x '

como temos que o nome da variável integrada não importa, temos que o lado direito é simplesmente

∫ - ∞ ∞ f ( x - b ) e - i ω x d x = e - i ω b g ( ω )

Portanto, aí está! Demonstramos que

ℱ { f ( x - b ) } ( ω ) = e - i b ω g ( ω )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π