Dado que g ( ω ) = ℱ { f ( x ) } mostre as seguintes propriedades da transformada.

( b ) ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = g ( ω + c )

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado pede para demonstrarmos a seguinte propriedade das transformadas de Fourier

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = g ( ω + c )

em que g ( ω ) = ℱ { f ( x ) } . Para fazermos isso vamos partir da definição de transformada de Fourier, dada por

ℱ { f ( x ) } = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

Vamos precisar substituir f ( x ) por f ( x ) e - i c x e ver se é possível manipular a integral de forma a obter a expressão que desejamos! Bora lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i c x e - i ω x d x

vamos usar propriedades da exponencial para juntar as duas exponenciais em uma só, temos que

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ( c + ω ) x d x

se fizermos a mudança ω ' = ω + c , temos que

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω ' x d x

que é simplesmente a definição da transformada de Fourier com espaço de frequências dado por ω ' , ou seja

ℱ { f ( x ) e - i c x } ( ω ) = g ( ω ' ) = g ( ω + c )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π