Esboce o gráfico da função F : ℝ → ℝ definida por

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n x ) + b n s e n ( n x ) ]

em que a série do segundo membro é a série de Fourier da função f : ℝ → ℝ , periódica de período 2 π , dada por

Justifique a construção do seu gráfico.

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Precisamos esboçar o gráfico da função

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n x ) + b n s e n ( n x ) ]

sabendo que a série é em questão é a série de fourier da função

Essa questão é bastante direta se lembrarmos o teorema de convergência das séries de Fourier, bora relembrar? Vem comigo!

Passo 2

O teorema de convergência das séries de Fourier garante que se temos uma função f ( x ) periódica, e seccionalmente contínua, podemos garantir que a série de Fourier dada por

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n x ) + b n s e n ( n x ) ]

converge para f ( x ) , portanto, como temos que a função dada é seccionalmente contínua e periódica de período 2 π , podemos esboçar o gráfico como

As oscilações surgem devido ao caráter trigonometria das séries de Fourier, note que quanto mais termos colocar, mais próximo de f ( x ) sua função estará! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π