Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( g )   f ( x ) = x   c o s ( π x / L ) ,   - L ≤ x ≤ L ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

  f ( x ) = f ( x ) = x   c o s ( π x / L ) ,   - L ≤ x ≤ L ;

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

f ( x ) = x   c o s ( π x / L )

essa função é definida tal que tem paridade ímpar, portanto, o único coeficiente não-nulo é o coeficiente do seno, portanto, temos que calcular apenas

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x = 1 L ∫ - L L x   c o s ( π x L ) s e n ( n π x L ) d x

temos a seguinte relação trigonométrica

s e n ( a ) + s e n ( b ) = 2   s e n ( a + b 2 ) c o s ( a - b 2 )

temos que

a + b 2 = π x L e a - b 2 = n π x L

portanto

a = 2 π x L - b

e então, temos que

π x L - b = n π x L

de forma que

b = π x L ( 1 - n )

e, então, temos que

a = 2 π x L - π x L ( 1 - n ) = π x L ( n + 1 )

As nossas integrais são tais que

b n = 1 2 L ∫ - L L x   { s e n [ π x L ( n + 1 ) ] - s e n [ π x L ( n - 1 ) ] } d x

Ambas as integrais resultantes devem ser resolvidas por partes! Bora lá!

Passo 3

Temos primeiro a integral

1 2 L ∫ - L L x   s e n [ π x L ( n + 1 ) ] d x

usando que

u = x e d u = d x

e

d v = s e n [ π x L ( n + 1 ) ] e v = - L π ( n + 1 ) c o s [ π x L ( n + 1 ) ]

Portanto, temos a integral

1 2 L ∫ - L L x   s e n [ π x L ( n + 1 ) ] d x = - 1 2 π ( n + 1 ) x c o s [ π x L ( n + 1 ) ] | - L L + 1 2 π ( n + 1 ) ∫ - L L c o s [ π x L ( n + 1 ) ] d x

A outra integral é da forma

∫ - L L c o s [ π x L ( n + 1 ) ] d x = L π ( n + 1 ) s e n [ π x L ( n + 1 ) ] | - L L

Portanto, temos que

1 2 L ∫ - L L x   s e n [ π x L ( n + 1 ) ] d x = - L π ( n + 1 ) c o s [ ( n + 1 ) π ] + 1 2 π 2 ( n + 1 ) 2 s e n [ ( n + 1 ) π ]

uma vez que s e n [ ( n + 1 ) π ] = 0 , obtendo

1 2 L ∫ - L L x   s e n [ π x L ( n + 1 ) ] d x = - L π ( n + 1 ) c o s [ ( n + 1 ) π ]

Vamos resolver a outra integral agora!

Passo 4

A outra integral é bastante similar

1 2 L ∫ - L L x   s e n [ π x L ( n - 1 ) ] d x

de forma que podemos obter

1 2 L ∫ - L L x   s e n [ π x L ( n - 1 ) ] d x = - L π ( n - 1 ) c o s [ ( n - 1 ) π ]

O nosso coeficiente é dado então por

b n = L π { c o s [ ( n - 1 ) π ] ( n - 1 ) - c o s [ ( n + 1 ) π ] ( n + 1 ) }

essa expressão é válida para n ≠ 1 . Precisamos calcular o caso específico em que n = 1 . Vamos lá!

Passo 5

Em n = 1 , obtemos

b 1 = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( π x L ) d x = 1 L ∫ - L L x   c o s ( π x L ) s e n ( π x L ) d x

usando a relação trigonométrica

s e n ( 2 a ) = 2   s e n ( a ) c o s ( a )

em que a = π x L , e portanto, temos que

s e n ( 2 π x L ) = 2   s e n ( π x L ) c o s ( π x L )

Nossa integral se torna

b 1 = 1 2 L ∫ - L L x   s e n ( 2 π x L ) d x

integrando por partes, temos que

b 1 = 1 2 L ∫ - L L x   s e n ( 2 π x L ) d x = - 1 4 π x   c o s ( 2 π x L ) | - L L + 1 4 π ∫ - L L c o s ( 2 π x L ) d x

esse resultado é então dado por

∫ - L L c o s ( 2 π x L ) d x = L 2 π s e n ( 2 π x L ) | - L L

e, portanto, temos que

b 1 = - 1 4 π x   c o s ( 2 π x L ) | - L L + L 8 π 2 s e n ( 2 π x L ) | - L L

O segundo termo se anula, o que nos resta é

b 1 = - L 2 π

a série de Fourier é então dada por

f ( x ) ≈ - L 2 π + L π ∑ n = 2 ∞ { c o s [ ( n - 1 ) π ] ( n - 1 ) - c o s [ ( n + 1 ) π ] ( n + 1 ) }

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ - L 2 π + L π ∑ n = 2 ∞ { c o s [ ( n - 1 ) π ] ( n - 1 ) - c o s [ ( n + 1 ) π ] ( n + 1 ) }

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π