Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

a )   f x = s e n x ,     0 ≤ x ≤ π .

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos a função:

f x = s e n ( x ) ,     0 ≤ x ≤ π

E, precisamos obter a série de Fourier em cossenos dessa função.

Puts!!! A função seno é uma função ímpar, mas pra obtermos uma série de Fourier apenas em cossenos precisamos estar tratando de uma função par e periódica. Será que o enunciado tá errado?

Nãooooo hahaha... é um tipo de probleminha mais complicado mesmo, mas tem uns truques bem legais que vamos aprender, então vem comigo!

A ideia principal pra conseguir escrever uma série de Fourier apenas de cossenos para uma função qualquer, é que podemos estender o gráfico da função dada, definindo ela por partes, de modo a forçá-la a ser par.

Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s n π x L

onde:

a n = 2 L ∫ 0 L f x c o s n π x L d x   ,         n = 0 , 1,2 , 3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, precisamos começar ajustando a definição.

Queremos definir a função seno em um intervalo mais amplo de modo que ela seja par. Vamos então, inicialmente, tratar dessa definição no intervalo [ - π , 0 ] .

Temos que:

f x = - s e n x ,           - π ≤ x ≤ 0

Assim, temos:

s e n - x = - s e n - x = s e n x ,         0 ≤ x ≤ π

Dessa forma temos a função sendo par. Daí, podemos escrever a sua definição:

f x =   - s e n x ,     - π ≤ x ≤ 0 s e n x ,     0 ≤ x ≤ π

onde diremos que f é periódica e, a princípio, de período 2 π . (Dizemos a princípio, porque essas funções trigonométricas às vezes possuem algumas simetrias interessantes, que quando expandimos o intervalo desse modo, temos um período menor do que 2 π . Pra saber disso direitinho, vamos desenhar o gráfico).

Primeiramente, vamos desenhá-lo no intervalo [ - π , π ] . Temos:

Olha aí, o que havíamos comentado. Embora tenhamos definido a função no intervalo [ - π , π ] , ao desenhar o gráfico vemos que o período de f é π .

E, no contexto da série de Fourier, temos que:

T = 2 L

Ou seja, o período da função é 2 L . Logo, no caso da nossa f ( x ) , vem:

L = π 2

Assim, precisamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo - 3 π 2 , 3 π 2 . Vamos ter:

Prontinho pessoal! Vamos para a próxima parte do exercício 😊

Passo 3

Agora precisamos determinar efetivamente a série de Fourier em cossenos da função f ( x ) . Para fazer isso, precisamos determinar os coeficientes que multiplicam a nossa função cosseno. Temos:

a n = 2 π 2 ∫ 0 π 2 s e n ( x ) c o s n π x π 2 d x

Massa! Então, nossa missão é resolver essa integral.

Podemos usar a fórmula da transformação de produto em soma da trigonometria:

s e n p - s e n q 2 = s e n p - q 2 ⋅ cos ⁡ p + q 2

Daí, temos:

s e n p - s e n q 2 = s e n ( x ) c o s 2 n x

Logo:

p - q = 2 x p + q = 4 n x

Daí:

∴ p = x ( 2 n + 1 )

⇒ q = 2 n - 1 x

Reescrevendo a integral, temos:

∫ 0 L s e n ( x ) c o s n π x π 2 d x = 1 2 ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 2 n + 1 x d x - ∫ 0 π 2 s e n 2 n - 1 x d x

Resolvendo as integrais:

∫ 0 L s e n ( x ) c o s n π x π 2 d x = 1 2 ⋅ - cos ⁡ 2 n + 1 x 2 n + 1 0 π 2 - - cos ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1 0 π 2

Substituindo os limites de integração:

= 1 2 ⋅ 1 2 n + 1 - 1 2 n - 1

= 1 2 ⋅ - 2 4 n 2 - 1

=   - 1 4 n 2 - 1

Substituindo de volta no coeficiente a n , temos:

a n = 2 π 2 ∫ 0 π 2 s e n ( x ) c o s n π x π 2 d x

= 4 π ⋅ - 1 4 n 2 - 1

Logo:

a n =   - 4 π 4 n 2 - 1 ,           n = 0,1 , 2,3 , …

Se n = 0 , temos:

a 0 = 4 π

Portanto, podemos escrever a série de Fourier de f x = s e n ( x ) como:

f x   ~ 2 π + ∑ n = 1 ∞ - 4 π 4 n 2 - 1 c o s n π x L  

E é isso galerinha! Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

f x   ~ 2 π + ∑ n = 1 ∞ - 4 π 4 n 2 - 1 c o s n π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π