Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Considere f x = x se - 1 ≤ x ≤ 1 e tal que f x + 2 = f ( x ) .

(a) (2pts) Mostre que a série de Fourier de f é dada por

f x = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n sen ⁡ ( n π x ) ;

(b) (2pts) Utilizando o item (a) prove que

π 4 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 .

Passo 1

Opa, vamos lá. Como que a gente encontra a série de Fourier para uma função? Oras, ela vai ter a seguinte carinha:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ⁡ n π x L   + ∑ n = 1 ∞ b n s e n ⁡ n π x L

Onde:

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = ∫ - L L f ( x ) c o s ⁡ n π x L d x

b n = ∫ - L L f ( x ) s e n ⁡ n π x L d x

Bom, como L é a metade do período da função, temos que L = 1 . Como f x = x , então nossa série vai ficar:

a 0 = 1 1 ∫ - 1 1 x d x = x 2 2 - 1 1 = 0

a 0 = 0

a n = ∫ - 1 1 x c o s ⁡ n π x d x = 1 n π   x s e n   n π x + 1 n π 2 cos ⁡ n π x - 1 1

a n = 1 n π 2 cos ⁡ n π - cos ⁡ - n π = 0

a n = 0

b n = ∫ - 1 1 x s e n ⁡ n π x d x = - 1 n π x c o s   n π x + 1 n π 2 sen ⁡ n π x - 1 1 = - 2 n π cos ⁡ ( n π )

Como o cos ⁡ ( n π ) tem valores iguais a - 1 para n ímpar e valores iguais a 1   para n par, então multiplicando com o ( - 1 ) , podemos dizer que:

b n = - 1 n + 1 . 2 n π

Observação: como f x é ímpar, se você lembrasse que o produto de funções de paridades iguais da uma função par e o produto de funções de paridades diferentes da uma função ímpar, poderia fazer direto que:

∫ - L L f ( x ) d x = 0

∫ - L L f ( x ) c o s ⁡ n π x L d x = 0

∫ - L L f ( x ) s e n ⁡ n π x L d x = 2 ∫ 0 L f ( x ) s e n ⁡ n π x L d x

Isso facilita bastante a vida. Se não lembrar, é só fazer conta mesmo.

Beleza, agora que já descobrimos todos os termos da nossa série, basta substituir:

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 . 2 n π s e n ⁡ n π x

Se tirarmos as constantes do somatório, teremos:

f x = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n s e n ⁡ n π x

Prontinho!! Deixamos no formato que a questão pediu.

Passo 2

A questão agora quer que a gente use a série de Fourier que a gente já encontrou pra provar que:

π 4 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 .

Para relembrar a série:

f x = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n s e n ⁡ n π x

E a nossa função:

f x = x

Beleza, vamos fazer o seguinte: vamos dizer que x = 1 / 2

Aí vamos ver que os senos vão ficar tranquilos de calcular, olha só:

f 1 2 = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n s e n ⁡ n π 2 = 1 2

Perfeito, agora vamos olhar pro somatório: quando n é ímpar, o seno fica ± 1 . Se n é par, o seno dá 0 . Então, vamos escrever da seguinte forma: n = 2 k - 1

2 π ∑ k = 1 ∞ - 1 2 k 2 k - 1 s e n ⁡ ( 2 k - 1 ) π 2 = 1 2

Se k for ímpar, o seno dá 1; se k for par, o seno dá - 1 . Com isso, podemos trocar a função do seno por - 1 k - 1 .

Além disso, repare que - 1 2 k = 1 .

Vamos ficar com:

2 π ∑ k = 1 ∞ - 1 k - 1 2 k - 1 = 1 2

Agora, a gente troca o k - 1 por n e chega na forma pedida:

2 π ∑ k - 1 = 0 ∞ - 1 k - 1 2 k - 2 + 1 = 2 π ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 ( k - 1 ) + 1 = 2 π ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 = 1 2

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 = π 4

Resposta

  1. Demonstração.
  2. Demonstração.

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n