Determine a série de Fourier da função f definida por

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Precisamos calcular a série de Fourier da função

ela é uma função seccionalmente contínua e periódica, portanto, a série de Fourier com o seguinte formato

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( m π x L ) + b n s e n ( n π x L ) ]

converge para a nossa função. Em nosso caso temos que L = π , e os coeficientes são dados por

a 0 = ∫ - π π f ( x ) d x

a n = 1 π ∫ - π π f ( x ) c o s ( n x ) d x

b n = 1 π ∫ - π π f ( x ) s e n ( n x ) d x

Bora rodar a manivela! Calcular essas integrais! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro para o coeficiente a 0 , temos que

a 0 = ∫ - π π f ( x ) d x = ∫ - π - 1 0   d x + ∫ - 1 0 [ x + 1 ]   d x + ∫ 0 π 1 d x

podemos usar a regrinha

∫ a b x n d x = 1 n + 1 x n + 1 | a b

para resolver as integrais como

a 0 = 1 2 x 2 | - 1 0 + x | - 1 0 + x | 0 π = π + 1 / 2

O esquema para os outros coeficientes é o mesmo. Só as integrais que mudam um pouquinho. Bora lá!

Passo 3

Calculando agoras os coeficientes de cosseno, temos que

a n = 1 π ∫ - π - 1 0   c o s ( n x ) d x + 1 π ∫ - 1 0 [ x + 1 ] c o s ( n x ) d x + 1 π ∫ 0 π 1   c o s ( n x ) d x

ou simplesmente

a n = 1 π ∫ - 1 0   c o s ( n x ) d x   +   1 π ∫ - 1 0 x   c o s ( n x ) d x   + 1 π ∫ 0 π   c o s ( n x ) d x

As integrais de cosseno poe ser identificadas como

∫ a b c o s ( n x ) d x = 1 n s e n ( n x ) | a b

portanto, temos os dois resultados

1 π ∫ - 1 0   c o s ( n x ) d x = 1 n π s e n ( n x ) | - 1 0 = 1 n π s e n ( n )

e, para a outra, temos que

1 π ∫ 0 π   c o s ( n x ) d x = 1 n π s e n ( n x ) | 0 π = 0

A integral que sobra é um produto de um polinômio com uma função trigonométrica, então temos que resolvê-la por partes! Saca só!

Passo 4

A integração por partes é resolvida tomando que

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b v d u

em que podemos escolher quem será u e d v , tomando a ordem de prioridade LIPTE (Logaritmo, Inversas, Polinomiais, trigonométricas e Exponencial), em que a ordem que aparece anteriormente nos diz quem é a prioridade para escolhermos como u , portanto, em nosso caso temos que

u = x e d v = c o s ( n x ) d x

de forma que

d u = d x e v = 1 n s e n ( n x )

Ou seja, a nossa integral se torna

∫ - 1 0 x c o s ( n x ) d x = 1 n x   s e n ( n x ) | - 1 0 - 1 n ∫ - 1 0 s e n ( n x ) d x = - 1 n s e n ( n ) - 1 n ∫ - 1 0 s e n ( n x ) d x

a segunda integral é identificada como

∫ - 1 0 s e n ( n x ) d x = - 1 n c o s ( n x ) | - 1 0 = - 1 n [ 1 - c o s ( - n ) ]

usando a paridade do cosseno, podemos dizer que

∫ - 1 0 s e n ( n x ) d x = - 1 n [ 1 - c o s ( n ) ]

e, portanto, temos que

∫ - 1 0 x c o s ( n x ) d x = - 1 n s e n ( n ) + 1 n 2 [ 1 - c o s ( n ) ]

Finalmente, nosso coeficiente é tal que

a n = 1 n π s e n ( n ) - 1 n π s e n ( n ) + 1 n 2 [ 1 - c o s ( n ) ] = 1 n 2 [ 1 - c o s ( n ) ]

Vamos calcular o coeficiente que falta agora! Vem comigo!

Passo 5

O último coeficiente é tal que

b n = 1 π ∫ - π - 1 0   s e n ( n x ) d x + 1 π ∫ - 1 0 [ x + 1 ] s e n ( n x ) d x + 1 π ∫ 0 π 1   s e n ( n x ) d x

analogamente ao que fizemos no passo anterior, temos duas integrais que podemos identificar diretamente, sendo elas

∫ - 1 0 s e n ( n x ) d x = - 1 n c o s ( n x ) | - 1 0 = - 1 n [ 1 - c o s ( n ) ]

e, a outra

∫ 0 π s e n ( n x ) d x = - 1 n c o s ( n x ) | 0 π = - 1 n [ c o s ( n π ) - 1 ]

A integral por partes também é feita de maneira parecida, escolhendo que

u = x e d v   =   s e n ( n x ) d x

temos que

d u = d x e v = - 1 n   c o s ( n x )

Portanto, a integral se torna

∫ - 1 0 x   s e n ( n x ) d x = - 1 n x   c o s ( n x ) | - 1 0 + 1 n ∫ - 1 0 c o s ( n x ) d x = 1 n c o s ( n ) + 1 n ∫ - 1 0 c o s ( n x ) d x

Usando que

∫ - 1 0 c o s ( n x ) d x = 1 n s e n ( n x ) | - 1 0 = 1 n s e n ( n )

em que usei a paridade da função seno! Podemos escrever que

b n = 1 n π c o s ( n ) + 1 n 2 π s e n ( n ) - 1 n π [ 1 - c o s ( n ) ] - 1 n π [ c o s ( n π ) - 1 ]

simplificando algumas coisinhas, temos que

b n = 2 n π c o s ( n ) + 1 n 2 π s e n ( n ) - 1 n π c o s ( n π )

Agora só precisamos escrever a nossa série! Bora lá!

Passo 6

Aplicando todos os coeficientes em nossa série de Fourier temos que

f ( x ) = 1 2 [ π + 1 / 2 ] + ∑ n = 1 ∞ [ { 1 n 2 [ 1 - c o s ( n ) ] } c o s ( m π x L ) + { 2 n π c o s ( n ) + 1 n 2 π s e n ( n ) - 1 n π c o s ( n π ) } s e n ( n π x L ) ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = 1 2 [ π + 1 / 2 ] + ∑ n = 1 ∞ [ { 1 n 2 [ 1 - c o s ( n ) ] } c o s ( m π x L ) + { 2 n π c o s ( n ) + 1 n 2 π s e n ( n ) - 1 n π c o s ( n π ) } s e n ( n π x L ) ]

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π