Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

d )   f x = x L - x ,               0 ≤ x ≤ L

Passo 1

Fala aí pessoal, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a função f ( x ) dada por:

f x = x L - x ,               0 ≤ x ≤ L

E, precisamos determinar a série de Fourier apenas em senos de f .

Pra escrever uma série de Fourier apenas em senos, precisamos que a função seja ímpar e periódica. O problema é que a função dada não é nem ímpar nem periódica no intervalo em que foi definida. Lembra que pra uma função ser ímpar ela precisa obedecer:

f x =   - f ( - x )

E, isso não é obedecido para f .

Nessas situações precisamos expandir o intervalo de definiç��o de f (observa que nesse problema ela foi definida apenas em [ 0 , L ] ) de modo a torná-la ímpar e periódica.

Depois que fizermos isso, podemos usar a teoria normal da série de Fourier pra funções ímpares e periódicas pra encontrar a sua expansão:

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

onde:

b n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x   ,         n = 1,2 , 3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, pra começar, precisamos ampliar o domínio de f de modo a torná-la ímpar. Queremos que a relação:

f - x =   - f ( x )

seja válida.

Então, no intervalo de [ - L , 0 ] queremos que:

f - x =   - x L - x

Mas, o nosso parâmetro de f é ( - x ) então onde tiver ( - x ) trocamos por x e vice-versa:

f x =   - ( ( - x ) ( L - - x )

∴ f x = x L + x   ,             - π ≤ x ≤ 0

Excelente! Assim, definimos f como:

f x =   x L + x ,     - L ≤ x ≤ 0 x L - x   ,                         0 ≤ x ≤ L

E, para ela ser periódica, podemos dizer que essa cara do gráfico formado em [ - L , L ] se repete com período 2 L .

(Isso é um truque bem legal e importante de ter em mente no contexto das séries de Fourier. Não precisamos definir f pra cada intervalozinho, pois pra ela ser periódica essa definição fica mudando.)

Massa!

Agora vamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo [ - 3 L ,   3 L ] :

(consideramos L = 1 sem perda de generalização).

Show de bola! Vamos pra série de Fourier efetivamente!!

Passo 3

Pra calcular os coeficientes da série de Fourier, precisamos calcular:

b n = 2 L ∫ 0 L x ( L - x ) s e n n π x L d x

Abrindo um pouco essa expressão, temos:

b n = 2 ∫ 0 L x s e n n π x L d x - 2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x

Show de bola! Então precisamos resolver essas duas integrais!

Vamos começar por:

∫ 0 L x s e n n π x L d x

Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x d v = s e n n π x L

Logo, temos:

∫ 0 L x s e n n π x L d x = x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + L n π ⋅ ∫ 0 L cos ⁡ n π x L d x

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L n π ⋅ L n π ⋅ s e n n π x L 0 L

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π  

Daí, vamos analisar. Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Ficamos só com o primeiro termo:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π

Daí, quando tivermos:

cos ⁡ n π = - 1 ,     n   í m p a r cos ⁡ n x = 1 ,     n   p a r

Podemos escrever:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π = - L 2 n π ⋅ - 1 n

= - 1 n + 1 L 2 n π

Então, substituindo no termo dessa integral em b n , vem:

2 ∫ 0 L x s e n n π x L d x = - 1 n + 1 2 L 2 n π

Perfeito!

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x

Para resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Vamo dar uma revisada:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

No caso da nossa integral, vamos chamar:

u = x 2 d v =   s e n n π x L

Assim:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x

O problema é que essa segunda integral também precisa ser calculada usando o método de integração por partes, daí fazendo:

u = x d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = x L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - L n π ⋅ ∫ 0 L s e n n π x L d x

= L 2 n π ⋅ s e n n π - L n π ⋅ L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L

Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Assim:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = 0 + L 2 n 2 π 2 ⋅ c o s ⁡ ( n π ) - L 2 n 2 π 2

Beleza, substituindo isso na nossa equação principal do cálculo da integral, temos:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

=   - L 3 n π ⋅ cos ⁡ n π + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

Como:

cos ⁡ n π = 1 ⇔ n   p a r cos ⁡ n π = - 1 ⇔ n   í m p a r

Então,

- Se n   par:

cos ⁡ n π - 1 = 0

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = - L 3 n π

- Se n ímpar:

cos ⁡ n π - 1 = - 2

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = L 3 n π 1 - 4 n 2 π 2

Perfeito!

Logo, para o coeficiente para o termo relacionado a essa integral em b n , vamos ter:

- n par:

2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x =   - 2 L 2 n π

- n ímpar:

2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = 2 L 2 n π 1 - 4 n 2 π 2  

Daí, juntando esses dois termos em b n , vamos ter:

b n = 2 ∫ 0 L x s e n n π x L d x - 2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x

- n par:

b n =   - 2 L 2 n π - - 2 L 2 n π = 0

- n ímpar:

b n = 2 L 2 n π - 2 L 2 n π 1 - 4 n 2 π 2

∴ b n = 8 L 2 n 3 π 3

Logo, podemos escrever a série de Fourier de f como:

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ 8 L 2 ( 2 n - 1 ) 3 π 3 s e n ( 2 n - 1 ) π x L

(trocamos n por 2 n - 1 pois estamos interessados apenas nos n ímpares, beleza?)

Então é isso galerinha, matamos mais uma questão!

Obrigado pela atenção! Até a próxima 😊

Resposta

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ 8 L 2 ( 2 n - 1 ) 3 π 3 s e n ( 2 n - 1 ) π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π