Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 317. Exercício 6a

Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.

Encontre a série de Fourier da função estendida

f x = 0             - 1 ≤ x < 0 x 2                       0 ≤ x < 1

Passo 1

Precisamos encontrar a Série de Fourier de f , temos o seguinte:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como o intervalo da função que o problema deu é 2 (de – 1 até 1 ) e temos que estender a função, esse será o seu período. Então:

2 L = 2     →       L = 1

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Passo 2

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n temos:

a 0 = ∫ - 1 1 f x d x

Veja que de - 1 a 1 temos duas expressões diferentes para f ( x ) , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:

a 0 = ∫ - 1 0 0   d x + ∫ 0 1 x 2 d x

Repare nos intervalos que escrevemos! A função vale 0 em - 1 < x < 0 e x 2 em 0 < x < 1 . Resolvendo essas integrais, temos

a 0 = x 3 3 0 1

a 0 = 1 3

Passo 3

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = ∫ - 1 1 f x cos ⁡ ( n π x ) d x

Dividindo essa integral, como fizemos com a 0 :

a n = ∫ - 1 0 0 cos ⁡ n π x d x + ∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

a n = ∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

Agora vamos integrar por partes, ok? Fazendo

u = x 2       →       u ' = 2 x

v ' = cos ⁡ n π x       →       v = 1 n π s e n n π x

a n = x 2 n π s e n n π x 0 1 - ∫ 0 1 2 x n π sen ⁡ n π x d x

a n = - 2 n π ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x d x

Agora temos que integrar por partes de novo ¬¬ , vamos lá

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n π x       →       v = - 1 n π c o s n π x

a n = - 2 n π - x n π c o s n π x 0 1 + ∫ 0 1 1 n π cos ⁡ n π x d x

a n = - 2 n π - 1 n π c o s ⁡ ( n π ) + 1 n 2 π 2 s e n n π x 0 1

a n = 2 n 2 π 2 c o s ⁡ ( n π )

Agora vamos analisar com calma. Perceba que

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Logo

a n = 2 n 2 π 2 ( - 1 ) = - 2 n 2 π 2       n   é   í m p a r 2 n 2 π 2 1 = 2 n 2 π 2                                 n   é   p a r        

a n = 2 - 1 n n 2 π 2

Guarde isso!

Passo 4

Agora só falta calcular os b n ’s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = ∫ - 1 1 f x sen ⁡ ( n π x ) d x

Dividindo essa integral:

b n = ∫ - 1 0 0 sen ⁡ n π x d x + ∫ 0 1 x 2 sen ⁡ n π x d x

b n = ∫ 0 1 x 2 sen ⁡ n π x d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x 2       →       u ' = 2 x

v ' = sen ⁡ n π x       →         v = - 1 n π cos ⁡ n π x

b n = - x 2 n π cos ⁡ n π x 0 1 + ∫ 0 1 2 x n π cos ⁡ n π x d x

b n = - 1 n π c o s ⁡ ( n π ) + 2 n π ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x d x

Agora temos que integrar por partes de novo

u = x       →       u ' = 1

v ' = cos ⁡ n π x       →       v = 1 n π s e n n π x

b n = - 1 n π c o s ⁡ ( n π ) + 2 n π x n π s e n n π x 0 1 - ∫ 0 1 1 n π s e n n π x

b n = - 1 n π cos ⁡ n π - 2 n 2 π 2 ∫ 0 1 s e n n π x

b n = - 1 n π cos ⁡ n π + 2 n 3 π 3 c o s n π x 0 1

b n = - 1 n π cos ⁡ n π + 2 n 3 π 3 cos ⁡ n π - 1

Lembrando que

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

cos ⁡ n π = - 1 n

Temos

b n = - - 1 n n π + 2 - 1 n - 1 n 3 π 3

Você poderia ter separado os b n ’ s em n ’s ímpares e pares também, mas talvez ficasse mais complicado aqui! Vamos deixar assim então.

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L  

a 0 = 1 3

a n = 2 - 1 n n 2 π 2

b n = - - 1 n n π + 2 - 1 n - 1 n 3 π 3

Temos então

f x = 1 6 + ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n n 2 π 2 cos ⁡ n π x + 2 - 1 n - 1 n 3 π 3 - - 1 n n π s e n n π x  

Resposta

f x = 1 6 + ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n n 2 π 2 cos ⁡ n π x + 2 - 1 n - 1 n 3 π 3 - - 1 n n π s e n n π x  

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