Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

d )   f x = x L - x ,             0 ≤ x ≤ L .

Passo 1

Fala aí pessoal, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a função f ( x ) dada por:

f x = x L - x ,               0 ≤ x ≤ L

E, precisamos determinar a série de Fourier apenas em cossenos de f .

Pra escrever uma série de Fourier apenas em cossenos, precisamos que a função seja par e periódica. O problema é que a função dada não é nem par nem periódica no intervalo em que foi definida. Lembra que pra uma função ser par ela precisa obedecer:

f x =   f ( - x )

E, isso não é obedecido para f .

Nessas situações precisamos expandir o intervalo de definição de f (observa que nesse problema ela foi definida apenas em [ 0 , L ] ) de modo a torná-la par e periódica.

Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s n π x L

onde:

a n = 2 L ∫ 0 L f x c o s n π x L d x   ,         n = 0,1 , 2,3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, pra começar, precisamos ampliar o domínio de f de modo a torná-la ímpar. Queremos que a relação:

f - x =   f ( x )

seja válida.

Então, no intervalo de [ - L , 0 ] queremos que:

f - x =   x L - x

Mas, o nosso parâmetro de f é ( - x ) então onde tiver ( - x ) trocamos por x e vice-versa:

f x = ( - x ) ( L - ( - x ) )

∴ f x = - x L + x   ,             - π ≤ x ≤ 0

Excelente! Assim, definimos f como:

f x =   - x L + x ,     - L ≤ x ≤ 0 x L - x   ,                         0 ≤ x ≤ L

E, para ela ser periódica, podemos dizer que essa cara do gráfico formado em [ - L , L ] se repete com período 2 L .

(Isso é um truque bem legal e importante de ter em mente no contexto das séries de Fourier. Não precisamos definir f pra cada intervalozinho, pois pra ela ser periódica essa definição fica mudando.)

Massa!

Agora vamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo [ - 3 L ,   3 L ] :

(consideramos L = 1 sem perda de generalidade.)

Show de bola! Com isso matamos a primeira parte! Vamos pra próxima!!

Passo 3

Agora vamos calcular efetivamente a série de Fourier da nossa função f ( x ) . Para isso precisamos calcular os coeficientes a n :

a n = 2 L ∫ 0 L x ( L - x ) c o s n π x L d x

Galera, em geral, aparece um problema quando colocamos n = 0 , pois durante a integração acaba aparecendo um n no denominador. Então, vamos começar calculando a 0 separadamente, e depois calculamos a n para um n   qualquer ( ∈ N ).

a 0 = 2 L ⋅ ∫ 0 L x L - x d x

= 2 L ⋅ L ∫ 0 L x d x - ∫ 0 L x 2 d x

= L 2 - 2 L 2 3

∴ a 0 = L 2 3

Massa! Agora vamos para um n qualquer. Precisamos resolver a integral:

∫ 0 L x ( L - x ) c o s n π x L d x

Podemos abri-la em duas novas integrais, fazendo:

∫ 0 L x ( L - x ) c o s n π x L d x = L ⋅ ∫ 0 L x c o s n π x L d x - ∫ 0 L x 2 cos ⁡ n π x L d x

Beleza, vamos resolver cada uma dessas integrais!

Começando por:

∫ 0 L x c o s n π x L d x

Pra calcular essa integral, precisamos usar o método de integração por partes. Dando uma rápida revisada, ele diz que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x c o s n π x L d x = x L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - L n π ⋅ ∫ 0 L s e n n π x L d x

= L 2 n π ⋅ s e n ( n π ) - L n π ⋅ L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L

Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Logo:

∫ 0 L x c o s n π x L d x = L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

Muito bom! Tudo tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora vamos resolver a outra integral:

∫ 0 L x 2 cos ⁡ n π x L d x

Daí, fazendo:

u = x 2 d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x 2 c o s n π x L d x = x 2 L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

= L 3 n π ⋅ s e n n π - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Como n ∈ N , temos:

s e n n π = 0

Logo:

∫ 0 L x 2 c o s n π x L d x = - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Precisamos resolver a integral:

∫ 0 L x s e n n π x L d x

Assim, fazendo:

u = x d v = s e n n π x L

Logo, temos:

∫ 0 L x s e n n π x L d x = x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + L n π ⋅ ∫ 0 L cos ⁡ n π x L d x

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L n π ⋅ L n π ⋅ s e n n π x L 0 L

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π  

Daí, vamos analisar. Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Ficamos só com o primeiro termo:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π

Daí, quando tivermos:

cos ⁡ n π = - 1 ,     n   í m p a r cos ⁡ n x = 1 ,     n   p a r

Podemos escrever:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π = - L 2 n π ⋅ - 1 n

= - 1 n + 1 L 2 n π

Logo:

∫ 0 L x 2 c o s n π x L d x = - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

=   - 2 L n π ⋅ - 1 n + 1 L 2 n π

= - 1 n 2 L 3 n 2 π 2

Excelente!

Passo 5

Juntando os resultados das duas integrais, vamos ter:

∫ 0 L x ( L - x ) c o s n π x L d x = L ⋅ ∫ 0 L x c o s n π x L d x - ∫ 0 L x 2 cos ⁡ n π x L d x

Substituindo o que encontramos:

∫ 0 L x ( L - x ) c o s n π x L d x =

L ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1 - - 1 n 2 L 3 n 2 π 2

- Se n é par:

cos ⁡ n π = 1

⇒ ∫ 0 L x ( L - x ) c o s n π x L d x = - 2 L 3 n 2 π 2

- Se n é ímpar:

∫ 0 L x ( L - x ) c o s n π x L d x = - 2 L 3 n 2 π 2 + 2 L 3 n 2 π 2

= 0

Logo, podemos escrever a n como:

a n = 2 L ⋅ - 2 L 3 2 n 2 π 2  

∴ a n =   - 4 L 2 2 n 2 π 2 ,             n = 1,2 , 3 , …

Daí, podemos escrever a série de Fourier de f como:

f x   ~ L 2 6 + ∑ n = 1 ∞ - 4 L 2 2 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ n π x L

Prontinho galera! É isso aí!

Deu um trabalhinho mas saiu 😊

Obrigado pela atenção de vocês!!

Resposta

f x   ~ L 2 6 + ∑ n = 1 ∞ - 4 L 2 2 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ n π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π